Demostrar que la aplicación f : R → R dada por f(x) = −3x + 2 es biyectiva y determinar f−1.

Para demonstrar que a função f(x) = -3x + 2 é bijectiva, precisamos mostrar que ela é injetiva e sobrejetiva. 1. Injetividade: Para provar que f(x) é injetiva, devemos mostrar que f(a) = f(b) implica em a = b. Suponha que f(a) = f(b), então -3a + 2 = -3b + 2. Podemos simplificar essa equação para -3a = -3b, e dividindo ambos os lados por -3, obtemos a = b. Portanto, f(x) é injetiva. 2. Sobrejetividade: Para provar que f(x) é sobrejetiva, devemos mostrar que para todo y em R, existe um x em R tal que f(x) = y. Dado um y em R, queremos encontrar um x que satisfaça -3x + 2 = y. Podemos isolar x na equação, obtendo x = (2 - y)/3. Portanto, para qualquer y em R, podemos encontrar um x em R tal que f(x) = y. Assim, f(x) é sobrejetiva. Portanto, concluímos que a função f(x) = -3x + 2 é bijectiva. Para determinar a função inversa f^(-1), podemos trocar x por y e resolver a equação original para y: y = -3x + 2 -3x = y - 2 x = (2 - y)/3 Portanto, a função inversa é f^(-1)(y) = (2 - y)/3.