3.6. Biyección entre (−1, 1) y R Demostrar que la siguiente función es biyectiva y determinar su inversa f : (−1, 1)→ R, f(x) = x 1− |x|. Solucio...

3.6. Biyección entre (−1, 1) y R
Demostrar que la siguiente función es biyectiva y determinar su inversa f : (−1, 1)→ R, f(x) = x 1− |x|.
Solución. La función está bien definida pues si x ∈ (−1, 1), entonces |x| < 1 y el denominador 1− |x| no se anula. Veamos que es inyectiva.
f(x1) = f(x2)⇒ x1 1− |x1| = x2 1− |x2|. (1)
Tomando módulos queda |x1|1−|x1| = |x2| 1−|x2| o bien, |x1| − |x1||x2| = |x2| − |x1||x2| lo cual implica |x1| = |x2|, y consecuentemente 1 − |x1| = 1 − |x2|. Sustituyendo en (1), queda x1 = x2.
Veamos que f es sobreyectiva. Podemos expresar f(x) en la forma:
f(x) =

x 1− x si x ∈ [0, 1)
x 1 + x si x ∈ (−1, 0).
Si y ≥ 0, entonces igualando y = x1−x obtenemos x = y 1+y ∈ [0, 1). Si y < 0, entonces igualando y = x1+x obtenemos x = y 1−y ∈ (−1, 0). Es decir, para todo y ∈ R existe x ∈ (−1, 1) tal que y = f(x) y por tanto, f es sobreyectiva.
Al ser f biyectiva tiene inversa, siendo su expresión:
f−1(y) =

y 1 + y si y ≥ 0
y 1− y si y < 0,

Álgebra Vetorial e Geometria Analítica

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30/06/2023

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Álgebra Vetorial e Geometria Analítica • Universidad Nacional de Mar del PlataUniversidad Nacional de Mar del Plata

Nelida Ruiz

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Ed

10.09.2023

A função f(x) = x/(1 - |x|) é uma bijeção entre o intervalo (-1, 1) e R. Para demonstrar isso, precisamos mostrar que ela é injetiva e sobrejetiva. Para mostrar que f(x) é injetiva, suponha que f(x1) = f(x2). Isso implica que x1/(1 - |x1|) = x2/(1 - |x2|). Tomando o módulo em ambos os lados, temos |x1|/(1 - |x1|) = |x2|/(1 - |x2|). Isso implica que |x1| = |x2|, e consequentemente, 1 - |x1| = 1 - |x2|. Substituindo isso na equação original, obtemos x1 = x2. Portanto, f(x) é injetiva. Para mostrar que f(x) é sobrejetiva, podemos expressar f(x) da seguinte forma: f(x) = x/(1 - x) se x ∈ [0, 1) x/(1 + x) se x ∈ (-1, 0). Se y ≥ 0, igualando y = x/(1 - x), obtemos x = y/(1 + y) ∈ [0, 1). Se y < 0, igualando y = x/(1 + x), obtemos x = y/(1 - y) ∈ (-1, 0). Ou seja, para todo y ∈ R, existe x ∈ (-1, 1) tal que y = f(x), e portanto, f(x) é sobrejetiva. Sendo f(x) uma bijeção, ela possui uma inversa, cuja expressão é: f^(-1)(y) = y/(1 + y) se y ≥ 0 y/(1 - y) se y < 0.

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