Sea f : A→ B biyectiva. Demostrar que (i) f−1 es biyectiva. (ii) IB ◦ f = f = f ◦ IA. (iii) f−1 ◦ f = IA, f ◦ f−1 = IB.

Para demonstrar que a função inversa f^(-1) é bijectiva, precisamos mostrar que ela é injetiva e sobrejetiva. (i) Para mostrar que f^(-1) é injetiva, suponha que f^(-1)(x) = f^(-1)(y). Aplicando a função f em ambos os lados, temos f(f^(-1)(x)) = f(f^(-1)(y)), o que implica em x = y. Portanto, f^(-1) é injetiva. (ii) Para mostrar que IB ◦ f = f = f ◦ IA, vamos primeiro provar que IB ◦ f = f. Seja x um elemento do conjunto A. Temos que (IB ◦ f)(x) = IB(f(x)) = f(x), pois a função identidade IB preserva os elementos de B. Agora, vamos provar que f ◦ IA = f. Seja y um elemento do conjunto B. Temos que (f ◦ IA)(y) = f(IA(y)) = f(y), pois a função identidade IA preserva os elementos de A. Portanto, IB ◦ f = f = f ◦ IA. (iii) Para mostrar que f^(-1) ◦ f = IA e f ◦ f^(-1) = IB, vamos primeiro provar que f^(-1) ◦ f = IA. Seja x um elemento do conjunto A. Temos que (f^(-1) ◦ f)(x) = f^(-1)(f(x)) = x, pois a função inversa f^(-1) desfaz a ação de f. Agora, vamos provar que f ◦ f^(-1) = IB. Seja y um elemento do conjunto B. Temos que (f ◦ f^(-1))(y) = f(f^(-1)(y)) = y, pois a função inversa f^(-1) desfaz a ação de f. Portanto, f^(-1) ◦ f = IA e f ◦ f^(-1) = IB. Dessa forma, demonstramos que (i) f^(-1) é bijectiva, (ii) IB ◦ f = f = f ◦ IA, e (iii) f^(-1) ◦ f = IA, f ◦ f^(-1) = IB.