Caṕıtulo 9. Espacios vectoriales y el determinante de la matriz del sistema es D = er2 − er1 . Pero la función exponencial es inyectiva y r1 6= r...

Caṕıtulo 9. Espacios vectoriales y el determinante de la matriz del sistema es D = er2 − er1 . Pero la función exponencial es inyectiva y r1 6= r2, luego D 6= 0. Esto implica que λ1 = λ2 = 0 y por tanto er1x y er2x son linealmente independientes. Supongamos ahora que la propiedad es cierta para n, y consideremos las n+ 1 funciones: er1x, er2x, . . . , ernx, ern+1x con ri 6= rj si i 6= j. Escribamos una combinación lineal de las funciones anteriores igualada a la función nula: λ1e r1x + λ2e r2x + · · ·+ λnernx + λn+1ern+1x = 0. Dividiendo al igualdad anterior entre ern+1x : λ1e (r1−rn+1)x + λ2e (r2−rn+1)x + · · ·+ λne(rn−rn+1)x + λn+1 = 0. (∗) Derivando la igualdad anterior: λ1(r1 − rn+1)e(r1−rn+1)x + λ2(r2 − rn+1)e(r2−rn+1)x + · · ·+ λn(rn − rn+1)e(rn−rn+1)x = 0. Dado que los n números rj − rn+1 (j = 1, . . . , n) son distintos dos a dos, se deduce de la hipótesis de inducción que λ1(r1 − rn+1) = 0, λ2(r2 − rn+1) = 0, . . . , λn(rn − rn+1) = 0, lo cual implica que λ1 = . . . = λn = 0. Sustituyendo estos escalares en la igualdad (∗), queda λn+1 = 0. Hemos demostrado que la propiedad es cierta para n+ 1.