4. La conjugada de una función continua es continua y el producto de con- tinuas también, luego la integral dada existe y es un número complejo....

4. La conjugada de una función continua es continua y el producto de con- tinuas también, luego la integral dada existe y es un número complejo. La aplicación 〈 , 〉 está bien definida. Para todo α ∈ C y para todo x, y, z ∈ E y usando conocidas propiedades de la integral:

(i) 〈x+ y, z〉 = ∫ b a (x(t) + y(t)) z(t) dt = ∫ b a x(t) z(t) dt+ ∫ b a y(t) z(t) dt = 〈x, z〉+ 〈y, z〉 .
(ii) 〈αx, y〉 = ∫ b a αx(t) y(t) dt = α ∫ b a x(t) y(t) dt = α〈x, y〉.
(iii) 〈y, x〉 = ∫ b a y(t) x(t) dt = ∫ b a x(t) y(t) dt = ∫ b a x(t) y(t) dt = 〈x, y〉.
Por último, si x ∈ E es función no nula:
(iv) 〈x, x〉 = ∫ b a x(t) x(t) dt = ∫ b a |x(t)|2 dt. La función |x(t)|2 es continua, positiva y no nula en [a, b], luego su integral es positiva en [a, b] por una conocida propiedad de análisis real. Es decir, 〈x, x〉 > 0.