Calcular la integral ∫ tan^5(sec^(-1)x)/√(1-x^2) dx

Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição trigonométrica. Vamos substituir sec^(-1)(x) por θ. Primeiro, vamos encontrar a derivada de sec^(-1)(x). Usando a regra da cadeia, temos: d(sec^(-1)(x))/dx = 1/(|x|√(x^2-1)) Agora, vamos substituir sec^(-1)(x) por θ e dx por dθ. A integral se torna: ∫ tan^5(θ)/√(1-sec^2(θ)) * (1/(|sec(θ)|√(sec^2(θ)-1))) dθ Simplificando, temos: ∫ tan^5(θ)/|sec(θ)| dθ Agora, podemos usar a identidade trigonométrica tan(θ) = sin(θ)/cos(θ) e sec(θ) = 1/cos(θ) para simplificar ainda mais a integral. ∫ (sin^5(θ)/cos^6(θ)) * (cos(θ)/1) dθ ∫ sin^5(θ)/cos^5(θ) dθ Agora, podemos fazer uma substituição adicional. Vamos substituir sin(θ) por u. A derivada de sin(θ) é dθ = du/cos(θ). A integral se torna: ∫ u^5/cos^6(θ) * (du/cos(θ)) Simplificando, temos: ∫ u^5/cos^7(θ) du Agora, podemos resolver essa integral em relação a u. Depois, substituímos u de volta por sin(θ) e θ por sec^(-1)(x) para obter a resposta final.