Calcular la integral ∫ √(5 - 4x - x^2) dx

Para calcular a integral ∫ √(5 - 4x - x^2) dx, podemos usar a técnica de completar o quadrado. Primeiro, reescrevemos a expressão dentro da raiz como uma expressão quadrática perfeita: 5 - 4x - x^2 = -(x^2 + 4x - 5) = -(x^2 + 4x + 4 - 9) = -(x + 2)^2 + 9 Agora, podemos reescrever a integral como: ∫ √(5 - 4x - x^2) dx = ∫ √(-(x + 2)^2 + 9) dx Em seguida, fazemos uma substituição, deixando u = x + 2, o que implica em du = dx. A integral se torna: ∫ √(-(x + 2)^2 + 9) dx = ∫ √(-u^2 + 9) du Agora, podemos usar uma fórmula de integração para a função raiz quadrada: ∫ √(-u^2 + 9) du = (1/2) * (u * √(-u^2 + 9) + 9 * arcsin(u/3)) + C Substituindo de volta u = x + 2, temos: ∫ √(5 - 4x - x^2) dx = (1/2) * ((x + 2) * √(-(x + 2)^2 + 9) + 9 * arcsin((x + 2)/3)) + C Portanto, essa é a resposta para a integral ∫ √(5 - 4x - x^2) dx.