Calcular la integral ∫ 1/√(x - x^3)/4 dx

Para calcular a integral ∫ 1/√(x - x^3)/4 dx, podemos fazer uma substituição trigonométrica. Vamos substituir x por sen(t), onde -π/2 ≤ t ≤ π/2. Primeiro, vamos encontrar dx em termos de dt. Derivando a substituição, temos dx = cos(t) dt. Agora, vamos substituir na integral: ∫ 1/√(x - x^3)/4 dx = ∫ 1/√(sen(t) - sen^3(t))/4 * cos(t) dt. Simplificando a expressão dentro da raiz, temos: ∫ 1/√(sen(t) - sen^3(t))/4 * cos(t) dt = ∫ 1/√(sen(t)(1 - sen^2(t)))/4 * cos(t) dt. Usando a identidade trigonométrica sen^2(t) + cos^2(t) = 1, podemos substituir 1 - sen^2(t) por cos^2(t): ∫ 1/√(sen(t)(1 - sen^2(t)))/4 * cos(t) dt = ∫ 1/√(sen(t)cos^2(t))/4 * cos(t) dt. Simplificando a expressão dentro da raiz, temos: ∫ 1/√(sen(t)cos^2(t))/4 * cos(t) dt = ∫ 1/√(sen(t)cos^2(t))/4 * cos(t) dt. Agora, podemos simplificar ainda mais a expressão dentro da raiz usando a identidade trigonométrica sen(t)cos^2(t) = (1/2)sen(2t): ∫ 1/√(sen(t)cos^2(t))/4 * cos(t) dt = ∫ 1/√((1/2)sen(2t))/4 * cos(t) dt. Simplificando a expressão dentro da raiz, temos: ∫ 1/√((1/2)sen(2t))/4 * cos(t) dt = ∫ 1/√(sen(2t))/4 * cos(t) dt. Agora, podemos fazer uma nova substituição. Vamos substituir sen(2t) por u, onde u = sen(2t). Derivando a substituição, temos du = 2cos(2t) dt. Substituindo na integral, temos: ∫ 1/√(u)/4 * (1/2) du = (1/8) ∫ 1/√(u) du. Integrando, temos: (1/8) ∫ 1/√(u) du = (1/8) * 2√(u) + C = √(u)/4 + C. Substituindo u por sen(2t), temos: √(sen(2t))/4 + C. Portanto, a integral ∫ 1/√(x - x^3)/4 dx é igual a √(sen(2t))/4 + C, onde t é dado por x = sen(t) e -π/2 ≤ t ≤ π/2.