Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta 4−=x , da região limitada por aquela reta e pela parábola 2264 yyx ++= .

Para encontrar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela reta 4-x e pela parábola y = 2x^2 + 6x em torno da reta x = 4, podemos usar o método do disco ou do anel. Usando o método do disco, podemos integrar a área de cada disco infinitesimal ao longo do eixo x. A fórmula para calcular o volume usando o método do disco é: V = ∫[a,b] π * (f(x))^2 dx Onde a e b são os limites de integração e f(x) é a função que define a curva. Neste caso, a função f(x) é a distância entre a reta 4-x e a parábola y = 2x^2 + 6x. Podemos encontrar essa distância subtraindo a função da reta da função da parábola: f(x) = (2x^2 + 6x) - (4 - x) = 2x^2 + 7x - 4 Agora, podemos calcular o volume integrando a função f(x) ao quadrado: V = ∫[a,b] π * (2x^2 + 7x - 4)^2 dx Os limites de integração a e b podem ser encontrados igualando as duas funções: 2x^2 + 7x - 4 = 4 - x 2x^2 + 8x - 8 = 0 x^2 + 4x - 4 = 0 Resolvendo essa equação quadrática, encontramos os valores de a e b. Em seguida, podemos calcular o volume usando a integral definida. Lembrando que a resposta pode variar dependendo dos limites de integração encontrados.