(Questão 5)[1.5] Considere um escoamento com velocidade −→v (x, y, z) e densidade ρ(x, y, z), tal que −→u = ρ−→v seja dado por −→u = x−→i + y−→j − ...

Para calcular o fluxo de −→u através de σ, podemos utilizar o Teorema da Divergência de Gauss. Primeiro, precisamos calcular a divergência de −→u: div(−→u) = ∂u/∂x + ∂v/∂y + ∂w/∂z = 1 + 1 - 2 = 0 Em seguida, podemos aplicar o Teorema da Divergência de Gauss: ∫∫S −→u · −→n dS = ∭V div(−→u) dV Como a superfície σ é uma esfera de raio 2 e centro na origem, podemos utilizar coordenadas esféricas para calcular o volume V: V = ∭V dV = ∫0^2π ∫0^π/4 ∫√2^2 4 r^2 sinθ dr dθ dφ = 2π/3 A normal −→n tem componente z > 0, então podemos escrevê-la como −→n = (cosφsinθ)i + (sinφsinθ)j + (cosθ)k. Portanto, −→u · −→n = xcosφsinθ + ysinφsinθ - 2zcosθ. Substituindo na fórmula do Teorema da Divergência de Gauss, temos: ∫∫S −→u · −→n dS = ∭V div(−→u) dV = 0 * 2π/3 = 0 Portanto, o fluxo de −→u através de σ é zero.