32- ( ? ?) No estudo do movimento de um corpo suspenso por uma mola sob a ação de uma força externa obtemos a equação y′′ + cy′ + y = sen t. a...

32- ( ? ?) No estudo do movimento de um corpo suspenso por uma mola sob a ação de uma força externa obtemos a equação y′′ + cy′ + y = sen t.
a) Determine a função y = y(t), que fornece a posição do corpo para t ≥ 0, em regime estacionário.
b) Indique um intervalo de valores para c (constante de atrito viscoso) de modo que a amplitude de y(t) não exceda 4 unidades de comprimento.

Cálculo IV

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23/01/2024

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Cálculo IV • Universidade Federal de PernambucoUniversidade Federal de Pernambuco

Thaísa Elvas

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23.01.2024

a) Para encontrar a solução da equação y′′ + cy′ + y = sen t, podemos usar o método da função de transferência. A função de transferência é dada por: G(s) = Y(s) / F(s) = 1 / (s^2 + cs + 1) Para encontrar a solução em regime estacionário, podemos calcular a resposta em frequência da função de transferência: H(s) = Y(s) / Sen(s) = 1 / (s^2 + cs + 1) A resposta em frequência em regime estacionário é dada por: y(t) = Re{H(jw) * Sen(jw * t)} Substituindo H(s) por sua expressão, temos: y(t) = Re{[1 / (jw^2 + cjw + 1)] * Sen(jw * t)} y(t) = (Sen(t) - c * Sen(t) / (1 + w^2 - 2cw)^2) / (1 + w^2 - 2cw) b) Para que a amplitude de y(t) não exceda 4 unidades de comprimento, precisamos que o denominador da equação acima seja maior ou igual a 16. Isso implica que: 1 + w^2 - 2cw >= 4 w^2 - 2cw + 3 >= 0 (w - 1)(w - 2) >= 0 Portanto, o intervalo de valores para c é 1 <= c <= 2.

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