Em cada caso, verifique se o operador linear T : 33  é diagonalizável, caso seja, determine sua representação diagonal D )(3 M e a matriz P...

Vamos lá! a) Para verificar se o operador linear T é diagonalizável, precisamos encontrar seus autovalores e autovetores. Primeiro, encontramos os autovalores resolvendo a equação característica det(T - λI) = 0, onde I é a matriz identidade e det é o determinante. Temos: det(T - λI) = det( [0 -1 0; 0 0 -1; 1 0 0] - λ[1 0 0; 0 1 0; 0 0 1] ) det(T - λI) = det( [-λ -1 0; 0 -λ -1; 1 0 -λ] ) det(T - λI) = -λ^3 + 1 Resolvendo a equação -λ^3 + 1 = 0, encontramos os autovalores λ1 = 1 e λ2 = -i e λ3 = i. Agora, precisamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para λ1 = 1, temos: (T - λ1I)v = 0 [0 -1 0; 0 0 -1; 1 0 0]v = 0 v = (t, 0, 0) Para λ2 = -i, temos: (T - λ2I)v = 0 [ i -1 0; 0 i -1; 1 0 i]v = 0 v = (it, t, -it) Para λ3 = i, temos: (T - λ3I)v = 0 [-i -1 0; 0 -i -1; 1 0 -i]v = 0 v = (-it, t, it) Agora, precisamos montar a matriz P com os autovetores encontrados. Temos: P = [1 0 -i; 0 1 1; 0 -i 0] E a matriz diagonal D é: D = [1 0 0; 0 -i 0; 0 0 i] Portanto, o operador linear T é diagonalizável, com representação diagonal D e matriz P que representa a base dos autovetores correspondente. b) Para verificar se o operador linear T é diagonalizável, precisamos encontrar seus autovalores e autovetores. Primeiro, encontramos os autovalores resolvendo a equação característica det(T - λI) = 0, onde I é a matriz identidade e det é o determinante. Temos: det(T - λI) = det( [2 -1 0; 0 1 -1; 0 2 4] - λ[1 0 0; 0 1 0; 0 0 1] ) det(T - λI) = det( [2-λ -1 0; 0 1-λ -1; 0 2 4-λ] ) det(T - λI) = (2-λ)(1-λ)(4-λ) + 2 det(T - λI) = -λ^3 + 7λ^2 - 14λ + 8 Resolvendo a equação -λ^3 + 7λ^2 - 14λ + 8 = 0, encontramos os autovalores λ1 = 2, λ2 = 2 e λ3 = 3. Agora, precisamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para λ1 = 2, temos: (T - λ1I)v = 0 [0 -1 0; 0 -1 -1; 0 2 2]v = 0 v = (t, t, 0) Para λ2 = 2, temos: (T - λ2I)v = 0 [0 -1 0; 0 -1 -1; 0 2 2]v = 0 v = (t, 0, -t) Para λ3 = 3, temos: (T - λ3I)v = 0 [-1 -1 0; 0 -2 -1; 0 2 1]v = 0 v = (t, -2t, t) Agora, precisamos montar a matriz P com os autovetores encontrados. Temos: P = [1 1 0; 1 0 -2; 0 -1 1] E a matriz diagonal D é: D = [2 0 0; 0 2 0; 0 0 3] Portanto, o operador linear T é diagonalizável, com representação diagonal D e matriz P que representa a base dos autovetores correspondente.