7. Considere o operador do IR4 dado por: T (x, y, z, w) = (x− z + y, 2y − z +w, x+ 3y − 2z +w, x− y −w). Assinale a alternativa correta: Im(T) = N...

A alternativa correta é a letra B: Verdadeiras: II e III; Falsas: I, IV e V. A Im(T) é gerada pelas colunas da matriz de T, que é dada por: ``` [1 0 1 -1] [1 -1 1 0] [0 1 -2 -1] [1 -1 1 -1] ``` Podemos reduzir essa matriz para a forma escalonada reduzida: ``` [1 0 1 -1] [0 -1 0 1] [0 0 -1 0] [0 0 0 0] ``` Assim, uma base para Im(T) é dada pelas colunas da matriz reduzida não nulas, que são: ``` (1, 0, 0, 0), (0, -1, 0, 0), (1, 0, -1, 1) ``` Portanto, a afirmação II é verdadeira. Para encontrar Nu(T), precisamos resolver o sistema homogêneo Tx = 0: ``` x - z + y = 0 2y - z + w = 0 x + 3y - 2z + w = 0 x - y - w = 0 ``` Podemos escrever a solução geral desse sistema como: ``` x = s - t + u y = t z = s + 2t - u w = u ``` Assim, uma base para Nu(T) é dada pelos vetores: ``` (1, 0, 1, 0), (-1, 0, 2, 0) ``` Portanto, a afirmação III é verdadeira. A afirmação I é falsa, pois Im(T) e Nu(T) não são iguais. A afirmação IV é falsa, pois a interseção de Im(T) e Nu(T) é o vetor nulo, não o vetor (1, 2, 3, -1). A afirmação V é falsa, pois Nu(T) não é subconjunto próprio de Im(T).