Considere as T.L.: T : IR3 → IR2 e S : IR2 → IR3 dadas por: T (x, y, z) = (x − y + z, x − y + z) e S(x, y) = (2x−y, x+y, 3x). Marque: dim(Im(T ))+ ...

Para resolver essa questão, precisamos calcular as dimensões dos espaços vetoriais Im(T), Nu(T ◦ S), Nu(S) e Im(S ◦ T). Começando por Im(T), temos que: Im(T) = {(x - y + z, x - y + z) | x, y, z ∈ IR} Podemos reescrever a imagem de T como: Im(T) = {(x, y) ∈ IR² | y = x} Ou seja, a imagem de T é o plano diagonal de equação y = x em IR². Portanto, a dimensão de Im(T) é 1. Agora, vamos calcular Nu(T ◦ S). Para isso, precisamos primeiro calcular T ◦ S: T ◦ S(x, y) = T(2x - y, x + y, 3x) = (2x - y - x - y + 3x, 2x - y - x - y + 3x) = (4x - 2y, 4x - 2y) Assim, Nu(T ◦ S) é o conjunto de vetores (x, y) ∈ IR² tais que T ◦ S(x, y) = (0, 0). Isso implica que: 4x - 2y = 0 Logo, Nu(T ◦ S) é a reta de equação y = 2x em IR². Portanto, a dimensão de Nu(T ◦ S) é 1. Agora, vamos calcular Nu(S). Para isso, precisamos encontrar a matriz associada à transformação linear S em relação às bases canônicas de IR² e IR³: [S] = [2 -1; 1 1; 3 0] Podemos encontrar uma base para o núcleo de S resolvendo o sistema homogêneo [S]x = 0: 2x - y = 0 x + y = 0 3x = 0 A solução desse sistema é x = 0 e y = 0, o que implica que o núcleo de S é o vetor nulo. Portanto, a dimensão de Nu(S) é 0. Por fim, vamos calcular Im(S ◦ T). Para isso, precisamos calcular S ◦ T: S ◦ T(x, y, z) = S(x - y + z, x - y + z) = (2(x - y + z) - (x - y + z), (x - y + z) + (x - y + z), 3(x - y + z)) = (x + 2z, 2x - 2y + 2z, 3x - 3y + 3z) Assim, Im(S ◦ T) é o conjunto de vetores (x, y, z) ∈ IR³ tais que S ◦ T(x, y, z) = (a, b, c) para algum a, b, c ∈ IR. Isso implica que: x + 2z = a 2x - 2y + 2z = b 3x - 3y + 3z = c Podemos reescrever essas equações como: x = a - 2z y = (2x + 2z - b)/2 = a - x - z - b/2 z = (c - 3x + 3y)/3 = (c - 3a + 3b/2)/9 Portanto, Im(S ◦ T) é o conjunto de vetores da forma (a - 2z, a - (a - 2z) - z - b/2, (c - 3a + 3b/2)/9), ou seja: Im(S ◦ T) = {(a - 2z, z - b/2, (c - 3a + 3b/2)/9) | a, b, c, z ∈ IR} Podemos reescrever a imagem de S ◦ T como: Im(S ◦ T) = {(x, y, z) ∈ IR³ | y = -x/2} Ou seja, a imagem de S ◦ T é o plano diagonal de equação y = -x/2 em IR³. Portanto, a dimensão de Im(S ◦ T) é 1. Agora, basta somar as dimensões de Im(T), Nu(T ◦ S), Nu(S) e Im(S ◦ T): dim(Im(T)) + dim(Nu(T ◦ S)) + dim(Nu(S)) + dim(Im(S ◦ T)) = 1 + 1 + 0 + 1 = 3 Portanto, a resposta é 3.