Para determinar se os vetores \( \mathbf{v} = (1, -1, 0) \), \( \mathbf{u} = (-1, 2, 1) \) e \( \mathbf{w} = (2, 1, 1) \) são linearmente dependentes (LD) ou linearmente independentes (LI), e se formam uma base do \( \mathbb{R}^3 \), precisamos verificar se eles geram o espaço \( \mathbb{R}^3 \) e se não há combinações lineares não triviais entre eles. 1. Verificação de LI ou LD: Para isso, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são LI; se for zero, são LD. A matriz é: \[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \] Calculando o determinante: \[ \text{det} = 1 \cdot (2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - (-1) \cdot (-1 \cdot 1 - 0 \cdot 2) + 2 \cdot (-1 \cdot 1 - 0 \cdot 2) \] \[ = 1 \cdot (2 - 1) - 1 \cdot (-1) + 2 \cdot (-1) \] \[ = 1 + 1 - 2 = 0 \] Como o determinante é zero, os vetores são linearmente dependentes (LD). 2. Base do \( \mathbb{R}^3 \): Para que um conjunto de vetores seja uma base do \( \mathbb{R}^3 \), ele deve ser LI e conter exatamente 3 vetores. Como já determinamos que os vetores são LD, eles não podem formar uma base. Portanto, a alternativa correta é: o conjunto de vetores é LD.