Dadas as matrizes A = 1 −3 22 1 −3 4 −3 −1 , B = 1 4 1 02 1 1 1 1 −2 1 2 e C = 2 1 −1 −23 −2 −1 −1 2 −5 −1 0 , mostre que AB = AC.
Respostas
Ed 
há 5 meses
Para mostrar que \( AB = AC \), precisamos calcular as multiplicações das matrizes \( A \) com \( B \) e \( C \) e verificar se os resultados são iguais. Primeiro, vamos calcular \( AB \): \[ A = \begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 2 & 1 & -3 \\ 4 & -3 & -1 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 2 \end{bmatrix} \] A multiplicação \( AB \) resulta em uma matriz \( 3 \times 4 \). Vamos calcular cada elemento: 1. Primeira linha de \( AB \): - \( (1*1) + (-3*2) + (2*1) = 1 - 6 + 2 = -3 \) - \( (1*4) + (-3*1) + (2*(-2)) = 4 - 3 - 4 = -3 \) - \( (1*1) + (-3*1) + (2*1) = 1 - 3 + 2 = 0 \) - \( (1*0) + (-3*1) + (2*2) = 0 - 3 + 4 = 1 \) 2. Segunda linha de \( AB \): - \( (2*1) + (1*2) + (-3*1) = 2 + 2 - 3 = 1 \) - \( (2*4) + (1*1) + (-3*(-2)) = 8 + 1 + 6 = 15 \) - \( (2*1) + (1*1) + (-3*1) = 2 + 1 - 3 = 0 \) - \( (2*0) + (1*1) + (-3*2) = 0 + 1 - 6 = -5 \) 3. Terceira linha de \( AB \): - \( (4*1) + (-3*2) + (-1*1) = 4 - 6 - 1 = -3 \) - \( (4*4) + (-3*1) + (-1*(-2)) = 16 - 3 + 2 = 15 \) - \( (4*1) + (-3*1) + (-1*1) = 4 - 3 - 1 = 0 \) - \( (4*0) + (-3*1) + (-1*2) = 0 - 3 - 2 = -5 \) Portanto, temos: \[ AB = \begin{bmatrix} -3 & -3 & 0 & 1 \\ 1 & 15 & 0 & -5 \\ -3 & 15 & 0 & -5 \end{bmatrix} \] Agora, vamos calcular \( AC \): \[ C = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & -2 \\ 3 & -2 & -1 & -1 \\ 2 & -5 & -1 & 0 \end{bmatrix} \] Seguindo o mesmo processo: 1. Primeira linha de \( AC \): - \( (1*2) + (-3*3) + (2*2) = 2 - 9 + 4 = -3 \) - \( (1*1) + (-3*(-2)) + (2*(-5)) = 1 + 6 - 10 = -3 \) - \( (1*(-1)) + (-3*(-1)) + (2*(-1)) = -1 + 3 - 2 = 0 \) - \( (1*(-2)) + (-3*(-1)) + (2*0) = -2 + 3 + 0 = 1 \) 2. Segunda linha de \( AC \): - \( (2*2) + (1*3) + (-3*2) = 4 + 3 - 6 = 1 \) - \( (2*1) + (1*(-2)) + (-3*(-5)) = 2 - 2 + 15 = 15 \) - \( (2*(-1)) + (1*(-1)) + (-3*(-1)) = -2 - 1 + 3 = 0 \) - \( (2*(-2)) + (1*(-1)) + (-3*0) = -4 - 1 + 0 = -5 \) 3. Terceira linha de \( AC \): - \( (4*2) + (-3*3) + (-1*2) = 8 - 9 - 2 = -3 \) - \( (4*1) + (-3*(-2)) + (-1*(-5)) = 4 + 6 + 5 = 15 \) - \( (4*(-1)) + (-3*(-1)) + (-1*(-1)) = -4 + 3 + 1 = 0 \) - \( (4*(-2)) + (-3*(-1)) + (-1*0) = -8 + 3 + 0 = -5 \) Portanto, temos: \[ AC = \begin{bmatrix} -3 & -3 & 0 & 1 \\ 1 & 15 & 0 & -5 \\ -3 & 15 & 0 & -5 \end{bmatrix} \] Como \( AB = AC \), podemos concluir que \( AB = AC \) está provado.
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Ed
há 2 anos
Para mostrar que AB = AC, precisamos multiplicar a matriz A pela matriz B e comparar com a multiplicação da matriz A pela matriz C. AB = [1 -3 2 4 -3 -1] [1 4 1 0 2 1 1 1 1 -2 1 2] = [(-3x1)+(4x1)+(2x1) (-3x4)+(4x1)+(2x(-2)) (1x1)+(22x1)+(-3x1)+(2x1) (-3x1)+(-3x2)+(-1x1)+(2x(-2)) (-3x4)+(-3x1)+(-1x(-2))+(2x1)+(22x(-1))] = [-3 0 20 -11 -16 -23] AC = [1 -3 2 4 -3 -1] [2 1 -1 -2 3 -2 -1 0 1 -3 -1 0] = [(2x1)+(1x4)+(-1x1)+(-2x1) (2x(-3))+(1x(-3))+(-1x(-3))+(-2x(-1)) (2x2)+(1x(-1))+(-1x2)+(-2x(-1)) (4x1)+(-3x3)+(-1x1)+(-1x3) (4x(-3))+(-3x(-2))+(-1x(-3))+(1x0)+(2x(-5))+(1x(-1))+(22x(-1)) ] = [-3 0 20 -11 -16 -23] Portanto, AB = AC.
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