Para encontrar a equação do lugar geométrico formado pelos focos das hipérboles, precisamos primeiro encontrar as equações dessas hipérboles. Sabemos que a diretriz da hipérbole é a reta y = -4, o que significa que a distância entre qualquer ponto da hipérbole e a reta y = -4 é constante. Vamos chamar essa distância de d. Também sabemos que a hipérbole passa pelos pontos (-4, 2) e (-1, -1). Podemos usar esses pontos para encontrar a equação da hipérbole. Começamos encontrando a distância entre um dos pontos e a diretriz: d = |2 - (-4)|/2 = 3 Isso significa que a distância entre qualquer ponto da hipérbole e a diretriz y = -4 é 3. Agora podemos usar a fórmula da hipérbole para encontrar a equação: (x - h)^2/a^2 - (y - k)^2/b^2 = 1 Onde (h, k) é o centro da hipérbole, a é a distância do centro a um vértice da hipérbole, e b é a distância do centro a um ponto da hipérbole na diretriz. Podemos escolher qualquer um dos pontos dados para ser um dos vértices da hipérbole. Vamos escolher (-4, 2). Sabemos que a distância do centro a esse vértice é a, então precisamos encontrar a. Usando a fórmula da distância entre dois pontos, temos: a = sqrt((-4 - (-1))^2 + (2 - (-1))^2)/2 = sqrt(26)/2 Agora podemos encontrar b: b^2 = a^2 - d^2 = 26/4 - 9 = 1/4 Portanto, a equação da hipérbole é: (x + 1)^2/(13/4) - (y - 2)^2/(1/4) = 1 Agora precisamos encontrar o lugar geométrico formado pelos focos dessas hipérboles. Sabemos que a distância entre o foco e o centro da hipérbole é c, onde c^2 = a^2 + b^2. Podemos usar isso para encontrar c: c^2 = (13/4) + (1/4) = 3 c = sqrt(3) Portanto, os focos das hipérboles estão a uma distância fixa de sqrt(3) da diretriz y = -4. Isso significa que o lugar geométrico formado pelos focos é uma parábola com foco em (0, -4) e diretriz y = -4. Podemos representar essa parábola no plano cartesiano traçando a diretriz y = -4 e a reta que passa pelo foco (0, -4) e é perpendicular à diretriz. A interseção dessas duas retas é o vértice da parábola. A partir daí, podemos traçar a curva da parábola usando a simetria em relação à diretriz. A equação da parábola é: (x - 0)^2 = 4p(y + 4) Onde p é a distância do vértice à diretriz. Podemos encontrar p usando a fórmula p = sqrt(3)/2: (x - 0)^2 = 4(sqrt(3)/2)(y + 4) x^2 = 6(y + 4) Portanto, a equação do lugar geométrico formado pelos focos das hipérboles é x^2 = 6(y + 4).