11- Uma pedra é jogada em um lago provocando uma onda circular de raio r, o qual varia com o tempo a uma taxa constante de 3 cm/s. A taxa de varia...
11- Uma pedra é jogada em um lago provocando uma onda circular de raio r, o qual varia com o tempo a uma
taxa constante de 3 cm/s. A taxa de variação, com o tempo, da área do círculo limitado pela onda, no instante
em que o raio vale 20 cm é:
a) scm / 120 2 b) scm / 6 2 c) scm / 12 2 d) scm / 60 2 e) scm / 150 2
taxa constante de 3 cm/s. A taxa de variação, com o tempo, da área do círculo limitado pela onda, no instante
em que o raio vale 20 cm é:
a) scm / 120 2 b) scm / 6 2 c) scm / 12 2 d) scm / 60 2 e) scm / 150 2
💡 2 Respostas
Ed 
A taxa de variação, com o tempo, da área do círculo limitado pela onda, no instante em que o raio vale 20 cm é: A área do círculo é dada por A = π * r^2, onde r é o raio. A derivada da área em relação ao tempo é dada por dA/dt = 2πr * dr/dt, onde dr/dt é a taxa de variação do raio com o tempo. Substituindo os valores conhecidos (r = 20 cm e dr/dt = 3 cm/s), temos: dA/dt = 2π * 20 * 3 = 120π cm²/s Portanto, a resposta correta é: a) 120π cm²/s
Will Pinto
Taxa constante dr(t)/dt = 3cm/s.
Quer descobrir a taxa com que a área circular cresce sabendo a taxa do crescimento do raio dado.
Por composição, pode aplicar a regra da cadeia na função composta da área relativo ao raio S(r(t)) = π[r(t)]²
dS(r(t))/dt = [ dr(t)/dt ][ dS(r(t)/dr ] = 3cm/s × d(πr²)/dr = 3πdr²/dr = 6πr(t).
Logo S'(r(20 cm)) = 6π20 cm²/s = 120π cm²/s.
A resposta é que a taxa com que a área está crescendo quando o raio circular atinge 20 cm, vale 120π cm²/s, mas o que isso significa?
Isso significa que um raio crescente numa taxa constante de 3 cm/s, a área circular cresce numa função linear do raio em 6πr cm²/s, pelo fato de a área ter dependência quadrática com o raio. Isso significa que a área cresce mais rápido quanto maior ela estiver tendo uma aceleração constante de 18π cm²/s², que significa que a área aumenta a velocidade de 18π cm/s a cada segundo que cresce, quando a taxa com que o raio crescente é constante de 3 cm/s.
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