Para resolver a integral \(\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 - 1}}\), podemos usar a substituição \(x = \sec(u)\). 1. Substituição: Se \(x = \sec(u)\), então \(dx = \sec(u) \tan(u) du\). 2. Substituindo na integral: \[ \sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{\sec^2(u) - 1} = \sqrt{\tan^2(u)} = \tan(u). \] Assim, a integral se torna: \[ \int \frac{\sec(u) \tan(u) du}{\sec^2(u) \tan(u)} = \int \frac{du}{\sec(u)} = \int \cos(u) du. \] 3. Integrando: \[ \int \cos(u) du = \sin(u) + C. \] 4. Voltando à variável original: Como \(u = \sec^{-1}(x)\), temos \(\sin(u) = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x}\). 5. Substituindo de volta: \[ \sin(u) = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x} \Rightarrow \int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 - 1}} = -\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} + C. \] Portanto, a resposta final é: \[ -\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} + C. \]