Determine o valor de \( \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \right) \). Resposta: \(-\frac{1}{x^2}\). Explicação: Derivada de \(x^{-1}\) é \(-x^{-2}\).

Desafios para Aprender

há 11 meses

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4 pág.

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A derivada de \( \frac{1}{x} \) pode ser encontrada usando a regra da potência. 1. Reescreva \( \frac{1}{x} \) como \( x^{-1} \). 2. Aplique a regra da potência: \( \frac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n-1} \). 3. Para \( n = -1 \), temos: \[ \frac{d}{dx}(x^{-1}) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}. \] Portanto, a resposta correta é \(-\frac{1}{x^2}\).

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Encontre o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \).

Resposta: 2.
Explicação: Usando a regra de L'Hôpital ou a identidade trigonométrica.

Determine o determinante da matriz \[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}. \]

Resposta: 0.
Explicação: As linhas da matriz são linearmente dependentes.

Resolva \( \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} = 2 \).

Resposta: \(x = 3\).
Explicação: Eleve ambos os lados ao quadrado e resolva a equação resultante.

Determine o valor de \( \int_0^\pi x \sin x \, dx \).

Resposta: \(\pi\).
Explicação: Usa integração por partes.

Encontre a soma dos primeiros \(n\) termos da série \( \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{1}{n!} \).

Resposta: \( e - \frac{e^{(1)} - 1}{n!} \).
Explicação: A série é uma aproximação para a função exponencial.

Resolva o sistema: \[ \begin{cases} 2x + 3y = 7 \ 4x - y = 1 \end{cases} \]

Resposta: \(x = 2\), \(y = 1\).
Explicação: Resolva o sistema por substituição ou eliminação.

Encontre o valor de \( \log_{10} 1000 \).

Resposta: 3.
Explicação: \(1000 = 10^3\), então \(\log_{10} 1000 = 3\).

Qual é a derivada de \( e^{x^2} \)?

Resposta: \(2xe^{x^2}\).
Explicação: Usa a regra da cadeia.

Resolva \( x^2 + 2xy + y^2 = 16 \) para \(x\) e \(y\).

Resposta: A solução geral é um círculo com raio 4 centrado na origem.
Explicação: A equação é a forma expandida da equação do círculo \((x+y)^2 = 16\).

Determine o valor de \( \int_1^e \frac{1}{x} \, dx \).

Resposta: 1.
Explicação: A integral de \(\frac{1}{x}\) é \(\ln x\), então \(\ln e - \ln 1 = 1\).

Cálculo

Determine o valor de \( \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \right) \). Resposta: \(-\frac{1}{x^2}\). Explicação: Derivada de \(x^{-1}\) é \(-x^{-2}\).

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Encontre o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \).

Resposta: 2.
Explicação: Usando a regra de L'Hôpital ou a identidade trigonométrica.

Determine o determinante da matriz \[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}. \]

Resposta: 0.
Explicação: As linhas da matriz são linearmente dependentes.

Resolva \( \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} = 2 \).

Resposta: \(x = 3\).
Explicação: Eleve ambos os lados ao quadrado e resolva a equação resultante.

Determine o valor de \( \int_0^\pi x \sin x \, dx \).

Resposta: \(\pi\).
Explicação: Usa integração por partes.

Encontre a soma dos primeiros \(n\) termos da série \( \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{1}{n!} \).

Resposta: \( e - \frac{e^{(1)} - 1}{n!} \).
Explicação: A série é uma aproximação para a função exponencial.

Resolva o sistema: \[ \begin{cases} 2x + 3y = 7 \ 4x - y = 1 \end{cases} \]

Resposta: \(x = 2\), \(y = 1\).
Explicação: Resolva o sistema por substituição ou eliminação.

Encontre o valor de \( \log_{10} 1000 \).

Resposta: 3.
Explicação: \(1000 = 10^3\), então \(\log_{10} 1000 = 3\).

Qual é a derivada de \( e^{x^2} \)?

Resposta: \(2xe^{x^2}\).
Explicação: Usa a regra da cadeia.

Resolva \( x^2 + 2xy + y^2 = 16 \) para \(x\) e \(y\).

Resposta: A solução geral é um círculo com raio 4 centrado na origem.
Explicação: A equação é a forma expandida da equação do círculo \((x+y)^2 = 16\).

Determine o valor de \( \int_1^e \frac{1}{x} \, dx \).

Resposta: 1.
Explicação: A integral de \(\frac{1}{x}\) é \(\ln x\), então \(\ln e - \ln 1 = 1\).

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Resolva \( \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} = 2 \).Resposta: \(x = 3\).Explicação: Eleve ambos os lados ao quadrado e resolva a equação resultante.

Determine o valor de \( \int_0^\pi x \sin x \, dx \).Resposta: \(\pi\).Explicação: Usa integração por partes.

Encontre a soma dos primeiros \(n\) termos da série \( \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{1}{n!} \).Resposta: \( e - \frac{e^{(1)} - 1}{n!} \).Explicação: A série é uma aproximação para a função exponencial.

Resolva o sistema: \[ \begin{cases} 2x + 3y = 7 \ 4x - y = 1 \end{cases} \]Resposta: \(x = 2\), \(y = 1\).Explicação: Resolva o sistema por substituição ou eliminação.

Encontre o valor de \( \log_{10} 1000 \).Resposta: 3.Explicação: \(1000 = 10^3\), então \(\log_{10} 1000 = 3\).

Qual é a derivada de \( e^{x^2} \)?Resposta: \(2xe^{x^2}\).Explicação: Usa a regra da cadeia.

Resolva \( x^2 + 2xy + y^2 = 16 \) para \(x\) e \(y\).Resposta: A solução geral é um círculo com raio 4 centrado na origem.Explicação: A equação é a forma expandida da equação do círculo \((x+y)^2 = 16\).

Determine o valor de \( \int_1^e \frac{1}{x} \, dx \).Resposta: 1.Explicação: A integral de \(\frac{1}{x}\) é \(\ln x\), então \(\ln e - \ln 1 = 1\).

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Resposta: 0.
Explicação: As linhas da matriz são linearmente dependentes.

Resolva \( \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} = 2 \).

Resposta: \(x = 3\).
Explicação: Eleve ambos os lados ao quadrado e resolva a equação resultante.

Determine o valor de \( \int_0^\pi x \sin x \, dx \).

Resposta: \(\pi\).
Explicação: Usa integração por partes.

Encontre a soma dos primeiros \(n\) termos da série \( \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{1}{n!} \).

Resposta: \( e - \frac{e^{(1)} - 1}{n!} \).
Explicação: A série é uma aproximação para a função exponencial.

Resolva o sistema: \[ \begin{cases} 2x + 3y = 7 \ 4x - y = 1 \end{cases} \]

Resposta: \(x = 2\), \(y = 1\).
Explicação: Resolva o sistema por substituição ou eliminação.

Encontre o valor de \( \log_{10} 1000 \).

Resposta: 3.
Explicação: \(1000 = 10^3\), então \(\log_{10} 1000 = 3\).

Qual é a derivada de \( e^{x^2} \)?

Resposta: \(2xe^{x^2}\).
Explicação: Usa a regra da cadeia.

Resolva \( x^2 + 2xy + y^2 = 16 \) para \(x\) e \(y\).

Resposta: A solução geral é um círculo com raio 4 centrado na origem.
Explicação: A equação é a forma expandida da equação do círculo \((x+y)^2 = 16\).

Determine o valor de \( \int_1^e \frac{1}{x} \, dx \).

Resposta: 1.
Explicação: A integral de \(\frac{1}{x}\) é \(\ln x\), então \(\ln e - \ln 1 = 1\).