Para calcular a integral \( \int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \cos^2(x) \, dx \), podemos usar a identidade: \[ \sin^2(x) \cos^2(x) = \frac{1}{4} \sin^2(2x) \] Assim, a integral se torna: \[ \int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \cos^2(x) \, dx = \int_{0}^{\pi} \frac{1}{4} \sin^2(2x) \, dx \] Podemos fatorar a constante: \[ = \frac{1}{4} \int_{0}^{\pi} \sin^2(2x) \, dx \] Agora, usamos a identidade \( \sin^2(u) = \frac{1 - \cos(2u)}{2} \): \[ \int_{0}^{\pi} \sin^2(2x) \, dx = \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos(4x)}{2} \, dx \] Isso se separa em duas integrais: \[ = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} 1 \, dx - \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \cos(4x) \, dx \] Calculando cada parte: 1. \( \int_{0}^{\pi} 1 \, dx = \pi \) 2. \( \int_{0}^{\pi} \cos(4x) \, dx = 0 \) (pois a integral de um cosseno completo em um período é zero) Portanto: \[ \int_{0}^{\pi} \sin^2(2x) \, dx = \frac{1}{2} \cdot \pi - 0 = \frac{\pi}{2} \] Substituindo de volta: \[ \frac{1}{4} \int_{0}^{\pi} \sin^2(2x) \, dx = \frac{1}{4} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{8} \] Assim, a resposta final é: \[ \int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \cos^2(x) \, dx = \frac{\pi}{8} \]