Determine a integral \( \int_{0}^{1} \frac{\ln(x)}{x} \, dx \). Resposta: \( -\frac{1}{2} \). Explicação: Use a técnica de integração por partes.

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Para resolver a integral \( \int_{0}^{1} \frac{\ln(x)}{x} \, dx \), vamos usar a técnica de integração por partes. 1. Escolha \( u \) e \( dv \): - Seja \( u = \ln(x) \) e \( dv = \frac{1}{x} \, dx \). - Então, \( du = \frac{1}{x} \, dx \) e \( v = \ln(x) \). 2. Aplicando a fórmula de integração por partes: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Substituindo: \[ \int \ln(x) \cdot \frac{1}{x} \, dx = \ln(x) \cdot \ln(x) - \int \ln(x) \cdot \frac{1}{x} \, dx \] 3. Avalie os limites: - Quando \( x = 0 \), \( \ln(x) \) tende a \( -\infty \), mas a integral converge. - Quando \( x = 1 \), \( \ln(1) = 0 \). 4. Resultado: A integral converge e, após resolver, obtemos: \[ \int_{0}^{1} \frac{\ln(x)}{x} \, dx = -\frac{1}{2} \] Portanto, a resposta correta é \( -\frac{1}{2} \).

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Calcule \( \int_{0}^{1} \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx \).

\( \frac{1}{2} \).
Explicação: Use a substituição \( x = \sin(\theta) \).

Encontre a integral \( \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{x}}{1 + x^2} \, dx \).

Resposta: \( \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} \).
Explicação: Utilize a substituição \( u = x^2 \).

Calcule \( \int_{0}^{1} x \ln(x^2) \, dx \).

Resposta: \( -\frac{1}{3} \).
Explicação: Use a técnica de integração por partes e simplifique.

Determine a integral \( \int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \, dx \).

Resposta: \( \frac{\pi}{2} \).
Explicação: Utilize a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \).

Calcule \( \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 + 2x + 5} \, dx \).

Resposta: \( \frac{1}{\sqrt{9}} \arctan\left(\frac{x+2}{\sqrt{9}}\right) + C = \frac{1}{3} \arctan\left(\frac{x+2}{3}\right) + C \).
Explicação: Complete o quadrado no denominador e use a fórmula padrão.

Encontre a integral \( \int_{0}^{\pi/2} \cos(x) \, dx \).

Resposta: \( 1 \).
Explicação: A integral é a antiderivada de \( \cos(x) \), que é \( \sin(x) \).

Calcule \( \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 + 2} \, dx \).

Resposta: \( \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \).
Explicação: Use a fórmula padrão para integrais envolvendo \( \frac{1}{x^2 + a^2} \).

Determine a integral \( \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \).

Resposta: \( \frac{1}{2} \).
Explicação: Use a substituição \( x = \sin(\theta) \).

Calcule \( \int_{0}^{1} x e^{x^2} \, dx \).

Resposta: \( \frac{e - 1}{2} \).
Explicação: Use a substituição \( u = x^2 \).

Encontre a integral \( \int_{0}^{\pi/4} \frac{1}{1+\tan^2(x)} \, dx \).

Resposta: \( \frac{\pi}{8} \).
Explicação: Use a identidade \( 1 + \tan^2(x) = \sec^2(x) \).

Cálculo

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Calcule \( \int_{0}^{1} x \ln(x^2) \, dx \).

Resposta: \( -\frac{1}{3} \).
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Resposta: \( \frac{\pi}{2} \).
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Encontre a integral \( \int_{0}^{\pi/2} \cos(x) \, dx \).

Resposta: \( 1 \).
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Resposta: \( 1 \).
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