Para calcular \( \int_{0}^{\pi} \sin^4(x) \, dx \), podemos usar a identidade: \[ \sin^4(x) = \left(\frac{1 - \cos(2x)}{2}\right)^2 \] Agora, expandindo a expressão: \[ \sin^4(x) = \frac{1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4} \] E usando a identidade \( \cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2} \): \[ \sin^4(x) = \frac{1 - 2\cos(2x) + \frac{1 + \cos(4x)}{2}}{4} \] Simplificando: \[ \sin^4(x) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\cos(4x) \] \[ = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x) \] Agora, integramos cada termo separadamente: \[ \int_{0}^{\pi} \sin^4(x) \, dx = \int_{0}^{\pi} \left( \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x) \right) dx \] Calculando cada integral: 1. \( \int_{0}^{\pi} \frac{3}{8} \, dx = \frac{3}{8} \cdot \pi \) 2. \( \int_{0}^{\pi} -\frac{1}{2}\cos(2x) \, dx = 0 \) (a integral de \(\cos\) em um período completo é zero) 3. \( \int_{0}^{\pi} \frac{1}{8}\cos(4x) \, dx = 0 \) (idem) Portanto: \[ \int_{0}^{\pi} \sin^4(x) \, dx = \frac{3\pi}{8} \] Assim, a resposta final é: \[ \int_{0}^{\pi} \sin^4(x) \, dx = \frac{3\pi}{8} \]