Calcule \( \int_{0}^{1} x \sqrt{1 - x^2} \, dx \). Resposta: \( \frac{1}{8} \). Explicação: Use a substituição \( x = \sin(\theta) \).

Para calcular a integral \( \int_{0}^{1} x \sqrt{1 - x^2} \, dx \), vamos usar a substituição \( x = \sin(\theta) \). 1. Substituição: Se \( x = \sin(\theta) \), então \( dx = \cos(\theta) \, d\theta \). 2. Limites de integração: Quando \( x = 0 \), \( \theta = 0 \) e quando \( x = 1 \), \( \theta = \frac{\pi}{2} \). 3. Substituindo na integral: \[ \int_{0}^{1} x \sqrt{1 - x^2} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(\theta) \sqrt{1 - \sin^2(\theta)} \cos(\theta) \, d\theta \] Como \( \sqrt{1 - \sin^2(\theta)} = \cos(\theta) \), a integral se torna: \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(\theta) \cos^2(\theta) \, d\theta \] 4. Usando a identidade: \( \cos^2(\theta) = 1 - \sin^2(\theta) \): \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(\theta) (1 - \sin^2(\theta)) \, d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(\theta) \, d\theta - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^3(\theta) \, d\theta \] 5. Calculando as integrais: - A primeira integral é: \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(\theta) \, d\theta = 1 \] - A segunda integral pode ser calculada usando a fórmula: \[ \int \sin^n(\theta) \, d\theta = \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2}(\theta) \, d\theta \] Para \( n = 3 \): \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^3(\theta) \, d\theta = \frac{2}{3} \] 6. Substituindo os resultados: \[ \int_{0}^{1} x \sqrt{1 - x^2} \, dx = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \] Parece que houve um erro na resposta inicial. O resultado correto é \( \frac{1}{3} \), não \( \frac{1}{8} \).