Para calcular a integral \( \int_{0}^{1} \frac{x^2}{(1+x^2)^2} \, dx \), vamos usar a substituição \( u = 1 + x^2 \). 1. Substituição: - \( du = 2x \, dx \) ou \( dx = \frac{du}{2x} \). - Quando \( x = 0 \), \( u = 1 \). - Quando \( x = 1 \), \( u = 2 \). - Como \( x^2 = u - 1 \), temos \( x = \sqrt{u - 1} \). 2. Mudando os limites e a integral: \[ \int_{0}^{1} \frac{x^2}{(1+x^2)^2} \, dx = \int_{1}^{2} \frac{u-1}{u^2} \cdot \frac{du}{2\sqrt{u-1}}. \] 3. Simplificando: \[ = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{u-1}{u^2} \, du = \frac{1}{2} \left( \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \, du - \int_{1}^{2} \frac{1}{u^2} \, du \right). \] 4. Calculando as integrais: - \( \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \, du = \ln(2) \). - \( \int_{1}^{2} \frac{1}{u^2} \, du = \left[-\frac{1}{u}\right]_{1}^{2} = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} \). 5. Substituindo de volta: \[ = \frac{1}{2} \left( \ln(2) - \frac{1}{2} \right) = \frac{\ln(2)}{2} - \frac{1}{4}. \] Portanto, a resposta final é: \[ \int_{0}^{1} \frac{x^2}{(1+x^2)^2} \, dx = \frac{1}{4} - \frac{\ln 2}{2}. \]