Para resolver a integral \( \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x + 5}} \, dx \), vamos seguir os passos: 1. Completar o quadrado no denominador: \[ x^2 + 2x + 5 = (x+1)^2 + 4 \] 2. Substituir na integral: \[ \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{(x+1)^2 + 4}} \, dx \] 3. Usar a substituição \( u = x + 1 \), então \( du = dx \) e os limites de integração mudam de \( x = 0 \) para \( u = 1 \) e de \( x = 1 \) para \( u = 2 \): \[ \int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{u^2 + 4}} \, du \] 4. Resolver a integral: A integral \( \int \frac{1}{\sqrt{u^2 + a^2}} \, du = \ln|u + \sqrt{u^2 + a^2}| + C \), onde \( a = 2 \): \[ \int \frac{1}{\sqrt{u^2 + 4}} \, du = \ln|u + \sqrt{u^2 + 4}| \] 5. Calcular os limites: \[ \left[ \ln|u + \sqrt{u^2 + 4}| \right]_{1}^{2} \] - Para \( u = 2 \): \[ \ln|2 + \sqrt{2^2 + 4}| = \ln|2 + \sqrt{8}| = \ln(2 + 2\sqrt{2}) \] - Para \( u = 1 \): \[ \ln|1 + \sqrt{1^2 + 4}| = \ln|1 + \sqrt{5}| \] 6. Resultado final: \[ \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x + 5}} \, dx = \ln(2 + 2\sqrt{2}) - \ln(1 + \sqrt{5}) = \ln\left(\frac{2 + 2\sqrt{2}}{1 + \sqrt{5}}\right) \] Portanto, a integral é: \[ \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x + 5}} \, dx = \ln\left(\frac{2 + 2\sqrt{2}}{1 + \sqrt{5}}\right) \]