Para resolver a integral \( \int x^3 \cdot e^{x^2} \, dx \), podemos usar a técnica de substituição. Vamos fazer a substituição \( u = x^2 \), o que implica que \( du = 2x \, dx \) ou \( dx = \frac{du}{2x} \). Substituindo \( x^3 \) por \( x^2 \cdot x \) e \( dx \) na integral, temos: \[ \int x^3 \cdot e^{x^2} \, dx = \int x^2 \cdot x \cdot e^{u} \cdot \frac{du}{2x} = \frac{1}{2} \int x^2 e^{u} \, du \] Como \( x^2 = u \), podemos reescrever a integral como: \[ \frac{1}{2} \int u e^{u} \, du \] Agora, aplicamos a integração por partes, onde \( v = e^u \) e \( dv = e^u \, du \), e \( w = u \) e \( dw = du \). A fórmula de integração por partes é: \[ \int w \, dv = wv - \int v \, dw \] Aplicando isso, temos: \[ \int u e^{u} \, du = u e^{u} - \int e^{u} \, du = u e^{u} - e^{u} + C \] Substituindo de volta \( u = x^2 \): \[ \int x^3 e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} \left( x^2 e^{x^2} - e^{x^2} \right) + C = \frac{1}{2} x^2 e^{x^2} - \frac{1}{2} e^{x^2} + C \] Agora, analisando as alternativas: A) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) - Incorreto. B) \( \frac{1}{2} x^2 e^{x^2} - \frac{1}{4} e^{x^2} + C \) - Incorreto. C) \( \frac{1}{2} x^2 e^{x^2} + C \) - Incorreto. D) \( \frac{1}{4} e^{x^2} + C \) - Incorreto. Nenhuma das alternativas apresentadas está correta. A resposta correta seria \( \frac{1}{2} x^2 e^{x^2} - \frac{1}{2} e^{x^2} + C \). Você pode verificar se há um erro nas alternativas fornecidas.