Problema 55: Uma moeda é lançada 6 vezes. Qual é a probabilidade de obter exatamente 3 caras? A) 0.200 B) 0.250 C) 0.300 D) 0.400

Para resolver essa questão, utilizamos a fórmula da probabilidade binomial, que é dada por: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] onde: - \( n \) é o número total de lançamentos (neste caso, 6), - \( k \) é o número de sucessos desejados (neste caso, 3 caras), - \( p \) é a probabilidade de sucesso em um único lançamento (para uma moeda justa, \( p = 0.5 \)), - \( \binom{n}{k} \) é o coeficiente binomial, que calcula o número de combinações de \( n \) elementos tomados \( k \) a \( k \). Calculando: 1. \( n = 6 \) 2. \( k = 3 \) 3. \( p = 0.5 \) O coeficiente binomial \( \binom{6}{3} \) é calculado como: \[ \binom{6}{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 \] Agora, substituindo na fórmula: \[ P(X = 3) = 20 \times (0.5)^3 \times (0.5)^{6-3} \] \[ P(X = 3) = 20 \times (0.5)^3 \times (0.5)^3 \] \[ P(X = 3) = 20 \times (0.5)^6 \] \[ P(X = 3) = 20 \times \frac{1}{64} \] \[ P(X = 3) = \frac{20}{64} = \frac{5}{16} \approx 0.3125 \] Analisando as alternativas: A) 0.200 B) 0.250 C) 0.300 D) 0.400 A probabilidade de obter exatamente 3 caras é aproximadamente 0.3125, que não está exatamente nas opções, mas a mais próxima é a alternativa C) 0.300. Portanto, a resposta correta é: C) 0.300.