Problema 60: Um dado é lançado 10 vezes. Qual é a probabilidade de obter exatamente 5 números ímpares? A) 0.200 B) 0.250 C) 0.300 D) 0.400

Para resolver essa questão, podemos usar a distribuição binomial, já que estamos lidando com um experimento que tem dois resultados possíveis (números ímpares e números pares) em cada lançamento do dado. 1. Identificar os parâmetros: - Número de lançamentos (n) = 10 - Número de sucessos desejados (k) = 5 (números ímpares) - Probabilidade de sucesso em um único lançamento (p) = 3/6 = 0.5 (já que há 3 números ímpares em um dado: 1, 3 e 5) 2. Fórmula da probabilidade binomial: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] Onde \(\binom{n}{k}\) é o coeficiente binomial. 3. Cálculo: - \(\binom{10}{5} = \frac{10!}{5!(10-5)!} = 252\) - \(p^k = (0.5)^5 = 0.03125\) - \((1-p)^{n-k} = (0.5)^{10-5} = (0.5)^5 = 0.03125\) Agora, substituindo na fórmula: \[ P(X = 5) = 252 \times 0.03125 \times 0.03125 = 252 \times 0.0009765625 \approx 0.246 \] 4. Analisando as alternativas: - A) 0.200 - B) 0.250 - C) 0.300 - D) 0.400 A probabilidade calculada (aproximadamente 0.246) se aproxima mais da alternativa B) 0.250. Portanto, a resposta correta é B) 0.250.