Um dado é lançado 12 vezes. Qual é a probabilidade de que o número 5 apareça exatamente 3 vezes? a) 0,2 b) 0,25 c) 0,3 d) 0,35

Para resolver essa questão, podemos usar a distribuição binomial, que é adequada para situações em que temos um número fixo de tentativas (neste caso, 12 lançamentos de um dado) e queremos saber a probabilidade de um evento ocorrer um número específico de vezes (o número 5 aparecendo exatamente 3 vezes). A fórmula da probabilidade binomial é: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \] onde: - \( n \) é o número total de tentativas (12 lançamentos), - \( k \) é o número de sucessos desejados (3 vezes que o número 5 aparece), - \( p \) é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa (1/6, já que há 6 faces no dado), - \( \binom{n}{k} \) é o coeficiente binomial, que calcula o número de combinações possíveis. Substituindo os valores: - \( n = 12 \) - \( k = 3 \) - \( p = \frac{1}{6} \) Calculamos: 1. \( \binom{12}{3} = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220 \) 2. \( p^k = \left(\frac{1}{6}\right)^3 = \frac{1}{216} \) 3. \( (1-p)^{n-k} = \left(\frac{5}{6}\right)^{12-3} = \left(\frac{5}{6}\right)^9 \) Agora, calculamos \( \left(\frac{5}{6}\right)^9 \): \[ \left(\frac{5}{6}\right)^9 \approx 0,1938 \] Agora, juntando tudo: \[ P(X = 3) = 220 \cdot \frac{1}{216} \cdot 0,1938 \approx 0,1938 \] Assim, a probabilidade de que o número 5 apareça exatamente 3 vezes em 12 lançamentos é aproximadamente 0,1938, que não está exatamente nas opções, mas a mais próxima é: Alternativa correta: a) 0,2.