Um estudante tem 75% de chance de passar em um exame. Qual é a probabilidade de que ele passe em 6 de 8 exames? a) 0,2 b) 0,3 c) 0,4

Para resolver essa questão, podemos usar a distribuição binomial, que é adequada para situações em que temos um número fixo de tentativas (neste caso, 8 exames), cada uma com duas possibilidades (passar ou não passar). A fórmula da probabilidade binomial é: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \] onde: - \( C(n, k) \) é o coeficiente binomial, que representa o número de combinações de n elementos tomados k a k. - \( p \) é a probabilidade de sucesso (neste caso, 0,75). - \( n \) é o número total de tentativas (neste caso, 8). - \( k \) é o número de sucessos desejados (neste caso, 6). Vamos calcular: 1. \( n = 8 \) 2. \( k = 6 \) 3. \( p = 0,75 \) 4. \( 1 - p = 0,25 \) Calculando o coeficiente binomial \( C(8, 6) \): \[ C(8, 6) = \frac{8!}{6!(8-6)!} = \frac{8!}{6!2!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28 \] Agora, substituindo na fórmula: \[ P(X = 6) = 28 \cdot (0,75)^6 \cdot (0,25)^2 \] Calculando \( (0,75)^6 \) e \( (0,25)^2 \): - \( (0,75)^6 \approx 0,17803125 \) - \( (0,25)^2 = 0,0625 \) Agora, multiplicando tudo: \[ P(X = 6) = 28 \cdot 0,17803125 \cdot 0,0625 \approx 0,246 \] Assim, a probabilidade de que ele passe em 6 de 8 exames é aproximadamente 0,246, que se aproxima de 0,3. Portanto, a alternativa correta é: b) 0,3.