Um estudante tem 80% de chance de passar em um exame. Qual é a probabilidade de que ele passe em 3 de 5 exames? a) 0,2 b) 0,25 c) 0,3 d) 0,35

Para resolver essa questão, podemos usar a distribuição binomial, que é adequada para situações em que temos um número fixo de tentativas (neste caso, 5 exames), cada uma com duas possibilidades (passar ou não passar). A fórmula da probabilidade binomial é: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \] onde: - \( C(n, k) \) é o coeficiente binomial, que representa o número de combinações de n elementos tomados k a k. - \( p \) é a probabilidade de sucesso (neste caso, 0,8). - \( n \) é o número total de tentativas (5 exames). - \( k \) é o número de sucessos desejados (3 exames). Calculando: 1. \( n = 5 \) 2. \( k = 3 \) 3. \( p = 0,8 \) 4. \( 1 - p = 0,2 \) Primeiro, calculamos o coeficiente binomial \( C(5, 3) \): \[ C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \] Agora, substituímos na fórmula: \[ P(X = 3) = C(5, 3) \cdot (0,8)^3 \cdot (0,2)^{5-3} \] \[ P(X = 3) = 10 \cdot (0,8)^3 \cdot (0,2)^2 \] Calculando: \[ (0,8)^3 = 0,512 \] \[ (0,2)^2 = 0,04 \] Agora, multiplicamos: \[ P(X = 3) = 10 \cdot 0,512 \cdot 0,04 \] \[ P(X = 3) = 10 \cdot 0,02048 \] \[ P(X = 3) = 0,2048 \] Assim, a probabilidade de que ele passe em 3 de 5 exames é aproximadamente 0,2048. Analisando as alternativas: a) 0,2 b) 0,25 c) 0,3 d) 0,35 A alternativa que mais se aproxima do resultado é a) 0,2. Portanto, a resposta correta é a) 0,2.