Para encontrar o vetor unitário que é simultaneamente ortogonal aos vetores \(\vec{u} = (2, -6, 3)\) e \(\vec{v} = (4, 3, 1)\), precisamos primeiro calcular o produto vetorial \(\vec{u} \times \vec{v}\). O produto vetorial em três dimensões é dado pela seguinte fórmula: \[ \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} \] Substituindo os valores de \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\): \[ \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -6 & 3 \\ 4 & 3 & 1 \end{vmatrix} \] Calculando o determinante, temos: \[ \vec{u} \times \vec{v} = \hat{i}((-6) \cdot 1 - 3 \cdot 3) - \hat{j}(2 \cdot 1 - 3 \cdot 4) + \hat{k}(2 \cdot 3 - (-6) \cdot 4) \] \[ = \hat{i}(-6 - 9) - \hat{j}(2 - 12) + \hat{k}(6 + 24) \] \[ = \hat{i}(-15) - \hat{j}(-10) + \hat{k}(30) \] \[ = (-15, 10, 30) \] Agora, para encontrar o vetor unitário, precisamos calcular a norma desse vetor: \[ ||\vec{u} \times \vec{v}|| = \sqrt{(-15)^2 + 10^2 + 30^2} = \sqrt{225 + 100 + 900} = \sqrt{1225} = 35 \] Portanto, o vetor unitário ortogonal é: \[ \frac{1}{35}(-15, 10, 30) = \left(-\frac{3}{7}, \frac{2}{7}, \frac{6}{7}\right) \] Agora, vamos analisar as alternativas para encontrar a que corresponde a esse vetor unitário. A alternativa que se aproxima é a B \( \frac{1}{135}(-3, 2, 6) \), pois se multiplicarmos por 35, obtemos o vetor \((-15, 10, 30)\). Portanto, a alternativa correta é: B \(135(-3, 2, 6)\).