Seja a função: 2y"- y' = 2e2*. Encontre a solução geral para a equação diferencial. Assuma que a solução geral tenha forma de y = e e a solução particular de forma y = Ae

Question

Seja a função: 2y"- y' = 2e2*. Encontre a solução geral para a equação diferencial. Assuma que a solução geral tenha forma de y = e e a solução par...

Ed · Answer

Para resolver a equação diferencial $2y - y' = 2e^{2x}$, vamos seguir os passos:

1. **Reescrever a equação**: A equação pode ser reescrita como $y' = 2y - 2e^{2x}$.

2. **Encontrar a solução geral**: Para isso, vamos resolver a equação homogênea associada $y' - 2y = 0$. A solução dessa equação é da forma:
   $$
   y_h = Ce^{2x}
   $$
   onde $C$ é uma constante.

3. **Encontrar a solução particular**: Para a solução particular, vamos assumir uma forma $y_p = Ae^{2x}$. Substituindo na equação original:
   $$
   y' = 2Ae^{2x}
   $$
   Substituindo $y_p$ e $y_p'$ na equação:
   $$
   2(Ae^{2x}) - 2Ae^{2x} = 2e^{2x}
   $$
   Isso simplifica para $0 = 2e^{2x}$, o que não é verdade. Portanto, precisamos tentar outra forma para $y_p$.

Vamos tentar $y_p = Axe^{2x}$. Então:
   $$
   y_p' = Ae^{2x} + 2Axe^{2x}
   $$
   Substituindo na equação:
   $$
   2(Axe^{2x}) - (Ae^{2x} + 2Axe^{2x}) = 2e^{2x}
   $$
   Isso simplifica para:
   $$
   -Ae^{2x} = 2e^{2x}
   $$
   Portanto, $A = -2$.

Assim, a solução particular é:
   $$
   y_p = -2xe^{2x}
   $$

4. **Solução geral**: A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
   $$
   y = y_h + y_p = Ce^{2x} - 2xe^{2x}
   $$

Portanto, a solução geral da equação diferencial $2y - y' = 2e^{2x}$ é:
$$
y = Ce^{2x} - 2xe^{2x}
$$

Equações Diferenciais

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