considere a equação diferencial 2y'-y=e elevado a x , sendo x real. sabendo que y(x) é uma solução tal que y(0)=-1, o valor de y"'(1) é ?

Vamos resolver passo a passo a equação diferencial dada: Equação: \[ 2y' - y = e^x \] Condição inicial: \[ y(0) = -1 \] Queremos encontrar: \[ y'''(1) \] --- Passo 1: Reescrever a equação \[ 2y' - y = e^x \implies y' - \frac{y}{2} = \frac{e^x}{2} \] --- Passo 2: Resolver a equação diferencial linear de primeira ordem Forma padrão: \[ y' + P(x)y = Q(x) \] Aqui: \[ P(x) = -\frac{1}{2}, \quad Q(x) = \frac{e^x}{2} \] --- Passo 3: Encontrar o fator integrante \[ \mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{1}{2} dx} = e^{-\frac{x}{2}} \] --- Passo 4: Multiplicar a equação pelo fator integrante \[ e^{-\frac{x}{2}} y' - \frac{1}{2} e^{-\frac{x}{2}} y = \frac{e^x}{2} e^{-\frac{x}{2}} \] \[ \Rightarrow \frac{d}{dx} \left( y e^{-\frac{x}{2}} \right) = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \] --- Passo 5: Integrar ambos os lados \[ y e^{-\frac{x}{2}} = \int \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} dx + C \] Integral: \[ \int \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} dx = \int \frac{1}{2} e^{\frac{x}{2}} dx \] Fazendo substituição: \[ u = \frac{x}{2} \implies du = \frac{1}{2} dx \implies dx = 2 du \] Logo: \[ \int \frac{1}{2} e^{u} \cdot 2 du = \int e^{u} du = e^{u} + K = e^{\frac{x}{2}} + K \] Portanto: \[ y e^{-\frac{x}{2}} = e^{\frac{x}{2}} + C \] --- Passo 6: Isolar y \[ y = e^{\frac{x}{2}} \cdot e^{\frac{x}{2}} + C e^{\frac{x}{2}} = e^{x} + C e^{\frac{x}{2}} \] --- Passo 7: Usar condição inicial \( y(0) = -1 \) \[ y(0) = e^{0} + C e^{0} = 1 + C = -1 \implies C = -2 \] --- Solução geral com constante: \[ y = e^{x} - 2 e^{\frac{x}{2}} \] --- Passo 8: Calcular \( y'''(x) \) Primeira derivada: \[ y' = e^{x} - 2 \cdot \frac{1}{2} e^{\frac{x}{2}} = e^{x} - e^{\frac{x}{2}} \] Segunda derivada: \[ y'' = e^{x} - \frac{1}{2} e^{\frac{x}{2}} \] Terceira derivada: \[ y''' = e^{x} - \frac{1}{4} e^{\frac{x}{2}} \] --- Passo 9: Calcular \( y'''(1) \) \[ y'''(1) = e^{1} - \frac{1}{4} e^{\frac{1}{2}} = e - \frac{1}{4} e^{0,5} \] --- Resposta final: \[ \boxed{ y'''(1) = e - \frac{1}{4} e^{\frac{1}{2}} } \] Se quiser um valor numérico aproximado: \[ e \approx 2,7183 \] \[ e^{0,5} = \sqrt{e} \approx 1,6487 \] \[ y'''(1) \approx 2,7183 - \frac{1}{4} \times 1,6487 = 2,7183 - 0,4122 = 2,3061 \] --- Se precisar de mais ajuda, é só chamar!