considere a equação diferencial 2y'-y=eelevado a x , sendo x real. sabend que y(x) é uma solução tal que y(0)=-1, o valor de y'"(1)é ?

Vamos resolver passo a passo a equação diferencial: Dada a equação: \[ 2y' - y = e^x \] 1. Reescrevendo: \[ 2y' = y + e^x \] \[ y' = \frac{y}{2} + \frac{e^x}{2} \] 2. É uma equação diferencial linear de primeira ordem: \[ y' - \frac{1}{2} y = \frac{e^x}{2} \] 3. Encontrar o fator integrante: \[ \mu(x) = e^{-\frac{1}{2}x} \] 4. Multiplicando ambos os lados: \[ e^{-\frac{1}{2}x} y' - \frac{1}{2} e^{-\frac{1}{2}x} y = \frac{e^x}{2} e^{-\frac{1}{2}x} \] \[ \frac{d}{dx} \left( y e^{-\frac{1}{2}x} \right) = \frac{e^{\frac{1}{2}x}}{2} \] 5. Integrando ambos os lados: \[ y e^{-\frac{1}{2}x} = \int \frac{e^{\frac{1}{2}x}}{2} dx + C \] 6. Calculando a integral: \[ \int \frac{e^{\frac{1}{2}x}}{2} dx = \frac{1}{2} \int e^{\frac{1}{2}x} dx = \frac{1}{2} \cdot 2 e^{\frac{1}{2}x} + C = e^{\frac{1}{2}x} + C \] 7. Logo: \[ y e^{-\frac{1}{2}x} = e^{\frac{1}{2}x} + C \] \[ y = e^{\frac{1}{2}x} \cdot e^{\frac{1}{2}x} + C e^{\frac{1}{2}x} \] \[ y = e^{x} + C e^{\frac{1}{2}x} \] 8. Usando a condição inicial \( y(0) = -1 \): \[ y(0) = e^{0} + C e^{0} = 1 + C = -1 \] \[ C = -2 \] 9. Portanto: \[ y = e^{x} - 2 e^{\frac{1}{2}x} \] 10. Derivando para encontrar \( y' \): \[ y' = e^{x} - 2 \cdot \frac{1}{2} e^{\frac{1}{2}x} = e^{x} - e^{\frac{1}{2}x} \] 11. Derivando novamente para encontrar \( y'' \): \[ y'' = e^{x} - \frac{1}{2} e^{\frac{1}{2}x} \] 12. Calculando \( y''(1) \): \[ y''(1) = e^{1} - \frac{1}{2} e^{\frac{1}{2}} = e - \frac{1}{2} e^{0.5} \] Resposta final: \[ y''(1) = e - \frac{1}{2} e^{0.5} \]