Quais são as coordenadas do ponto P' simétrico a P(4, -6, 2) com relação ao ponto H(8, 8, -6)?

Considertanado o ponto H como referência, este seria a "origem do sistema", então as coordenadas do ponto P' terão a mesma distância que o ponto P em relação a H. Em x: a distância é de 4 entre Px e Hx, portanto P'x será Hx + 4 = 8 + 4 = 12 (positivo, pois o lado tem que ser oposto a P). Em y: a distância é de 14 entre Py e Hy, portanto P'y será Hy + 14 = 8 + 14 = 22. Em z: a distância é de 8 entre Pz e Hz, portanto P'z será Hz - 8 (sentido oposto a P, por isso subtrai-se) = -6 -8 = -14. Portanto P'= (12, 22, -14).

Vamos supor um vetor \(v_{PH}\) que começa no ponto \(P(4,-6,2)\) termina em \(H(8,8,-6)\). Portanto, \(v_{PH}\) é:

\(\Longrightarrow v_{PH} = P-H\)

\(\Longrightarrow v_{PH} = (4,-6,2) - (8,8,-6)\)

\(\Longrightarrow v_{PH} = (-4,-14,8)\)

Portanto, o ponto \(P'\) é:

\(\Longrightarrow v_{HP'}=v_{PH}\)

\(\Longrightarrow H-P'=v_{PH}\)

\(\Longrightarrow P'=H-v_{PH}\)

\(\Longrightarrow P'=(8,8,-6)-(-4,-14,8)\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ P'=(12,22,-14) $}\)