considere a função: f(x) = ln(x) - 2sen(x). Em qual dos intervalos abaixo há uma raiz real?

Para resolver este problema, vamos colocar em prática nosso conhecimento sobre Cálculo Numérico.

Em especial, faremos uso do Teorema abaixo:

"Seja \(f(x)\) é uma função definida em \([a,\text{ b}]\). Se \(f(a)f(b)<0\), então existe pelo menos um ponto \(x=\xi\) entre \(a\) e \(b\) tal que \(f(\xi)=0\)."

Para o problema em questão, suponha \(a=1\) e \(b=2\):

\(\begin{align} f(1)&=\ln(1)-2\cdot \text{sen} (1) \\&=-1,68 \end{align}\)

\(\begin{align} f(2)&=\ln(2)-2\cdot \text{sen} (2) \\&=-1,13 \end{align}\)

Deste modo, tem-se que \(f(1)f(2)=1,90>0\).

Suponha agora \(a=2\) e \(b=3\):

\(\begin{align} f(2)&=\ln(2)-2\cdot \text{sen} (2) \\&=-1,13 \end{align}\)

\(\begin{align} f(3)&=\ln(3)-2\cdot \text{sen} (3) \\&=0,82 \end{align}\)

Deste modo, tem-se que \(f(2)f(3)=-0,93<0\).

Portanto, a função \(f(x)=\ln(x)-2\text{ sen}(x)\) possui pelo menos uma raiz real no intervalo \(\boxed{[2,\text{ }3]}\).

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