A interseção das funções y2 = x e y1 = x² ocorre nos pontos (0, 0) e (1, 1). Com isso, tem-se a seguinte integral:

-> A = ∫∫ dA

-> A = ∫∫ dy dx

-> A = ∫ (y2 - y1) dx

-> A = ∫ (x - x²) dx

-> A = [ x²/2 - x³/3 ]

Com 0 < x < 1, o valor da área da região R é:

-> A = [ 1²/2 - 1³/3 ] - [ 0²/2 - 0³/3 ]

-> A = [ 1/2 - 1/3 ] - [ 0 ]

-> A = 3/6 - 2/6

-> A = 1/6

Solução: letra c).

Se gostou, dá um joinha!

Tu tá procurando pela área amarela.

Essa área é a área entre a curva y=x e y=x^2, note que elas se intersectam no ponto (1,1), então o intervalo de integração é de 0 à 1.

O pulo do gato é entender que y=x está acima de y=x^2 neste intervalo, por isso teremos uma integral da função

g(x)=x-x^2 (que na prática calcula a área maior que está abaixo de y=x e subtrai a área menor que está abaixo de y=x^2, sobrando a área amarela).

A área amarela é dada pela integral:

LETRA C