UNIDADE 4

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Modelagem e Controle 
de Sistemas
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof.ª Dr.ª Claudia Barros dos Santos Demori
Revisão Textual:
Prof. Me. Claudio Brites
Sistemas de Primeira Ordem e de Segunda Ordem
• Função de Transferência.
 · Apresentar equações gerais para funções de transferência de primeira 
e segunda ordem;
 · Exemplificar sistemas reais.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Sistemas de Primeira Ordem
e de Segunda Ordem
Orientações de estudo
Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem 
aproveitado e haja maior aplicabilidade na sua 
formação acadêmica e atuação profissional, siga 
algumas recomendações básicas: 
Assim:
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e 
horário fixos como seu “momento do estudo”;
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo;
No material de cada Unidade, há leituras indicadas e, entre elas, artigos científicos, livros, vídeos 
e sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você 
também encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão 
sua interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados;
Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discus-
são, pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o 
contato com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e 
de aprendizagem.
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Determine um 
horário fixo 
para estudar.
Aproveite as 
indicações 
de Material 
Complementar.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
Não se esqueça 
de se alimentar 
e de se manter 
hidratado.
Aproveite as 
Conserve seu 
material e local de 
estudos sempre 
organizados.
Procure manter 
contato com seus 
colegas e tutores 
para trocar ideias! 
Isso amplia a 
aprendizagem.
Seja original! 
Nunca plagie 
trabalhos.
UNIDADE Sistemas de Primeira Ordem e de Segunda Ordem
Função de Transferência
Já vimos em outras unidades que o nosso estudo inicial de sistemas é baseado em 
sistemas lineares e invariantes no tempo. Dessa forma, é possível modelá-los com 
as funções de transferência. Essas funções caracterizam com precisão as relações 
de entrada e saída de sinais entre os dispositivos que compõem um sistema. Elas 
servem principalmente para a análise e execução de projetos. 
No geral, uma função de transferência G(s) pode ser escrita como:
G s
Y s
X s
b s b s b s b
a s a s a s a
m m
m m
n n
n
( ) = ( )( )
=
+ +…+ +
+ +…+ +
−
−
−
−
0 1
1
1
0 1
1
1 nn
Onde X(s) é a transformada de Laplace da entrada e Y(s) é a transformada de 
Laplace da saída, com condições iniciais nulas. O que determinará a ordem do 
sistema é a maior potência de n. 
Sistemas de Primeira Ordem
Observe o diagrama de blocos da imagem a seguir, ele representa, em um con-
texto geral, sistemas de primeira ordem.
+
–
R(s) E(s) R(s) C(s)
(a) (b)
C(s)1
Ts
1
Ts+1
Figura 1
O diagrama de blocos da imagem representa um sistema de primeira ordem, 
que em contexto aplicado pode ser um circuito RC, um sistema térmico ou algo 
semelhante – observaremos alguns exemplos mais adiante. Para ilustrar um sistema 
real e prático, utilizaremos um circuito RC, conforme ilustra a imagem a seguir:
R
C
e0ei
Figura 2
8
9
Já vimos em unidades anteriores como obter a função de transferência do circuito 
apresentado, lembre-se que o diagrama de blocos desse circuito está representado 
aqui. Para a função de transferência:
1. Vamos utilizar as Leis das Malhas de Kirchhoffe, note há duas malhas ei e eo;
2. Se há duas malhas, haverá duas equações e suas respectivas transformadas 
de Laplace:
e Ri t
C
i t dt E RI s
C s
I s
e
C
i t
i i
O
= ( ) + ( ) → = ( ) + ( )
= ( )
∫
∫
1 1 1
1
 (1)
ddt E s
C s
I sO→ ( ) = ( )
1 1
 (2)
3. Vamos escrever a função de transferência de malha fechada para o sistema:
E
E
C s
I s
RI s
C s
I s
E
E
C s
RCs
Cs
E
E RCs
O
i
O
i
O
i
=
( )
( ) + ( )
→ =
+
→ =
+
1 1
1 1
1 1
1
1
1
Podemos ilustrar com o diagrama de blocos, como segue: 
R(s) C(s)1
RCs
+
–
Figura 3
Ou ainda, podemos ilustrar o diagrama de blocos de maneira simplificada, com 
a função de transferência de malha fechada:
1
RCs + 1
E0Ei
Figura 4
Podemos observar pela função de transferência 
E
E RCs
O
i
=
+
1
1
 que este é um sistema 
de primeira ordem, visto que o maior expoente de s no denominador é igual a 1.
Quando se realiza de forma eficaz o curso de modelagem e controle de sistemas, 
o aluno fica engajado em compreender como as equações podem servir para mo-
delar e atuar em sistemas reais. Sendo assim, analisaremos alguns sistemas reais, 
com vistas a compreender o processo de modelagem de sistemas.
9
UNIDADE Sistemas de Primeira Ordem e de Segunda Ordem
Exemplo 1: 
No primeiro exemplo, para ilustrar um sistema de primeira ordem real, estudare-
mos os detalhes de um sistema de nível de líquido. Na engenharia, um sistema que 
utiliza óleo ou água é chamado de sistema hidráulico. Observe a imagem a seguir:
Válvula de Controle
H + h
Válvula de Restrição
Resistência
R
Capacitância
C
Q + qo
Q + qi
Figura 5
A imagem representa um sistema de nível de água, frequentemente utilizado na 
indústria quando se trata de reservatórios ou fluxos entre tubos e conexões. No geral, 
esse tipo de fluxo é turbulento e deve ser representado por equações diferenciais não 
lineares; no entanto, essas equações poderão ser linearizadas se a região de opera-
ção for limitada, ou seja, uma vazão pequena e uma altura pequena. Dessa maneira, 
podemos descrever a dinâmica desse sistema de maneira mais simplificada.
Sobre fluxo laminar e turbulento em: https://goo.gl/ZoD3Qb.
Ex
pl
or
Consideraremos o fluxo de fluido ao longo de uma tubulação curta, conectando 
dois reservatórios, como mostrou a imagem anterior. Observe a resistência à pas-
sagem de líquido R. Ela é definida como a variação na diferença de nível (m) pela 
variação na vazão (m³/s). Considerando um fluxo laminar:
R
dH
dQ
H
Q
= =
Onde H (m) é a altura do nível em regime permanente e Q (m³/s), a vazão 
em volume do regime permanente. A Resistência R no escoamento laminar é 
equivalente a uma resistência R em circuito elétrico. 
Se considerarmos um fluxo turbulento, a taxa de fluxo em estado permanente 
será dada por:
Q K H dQ
K
H
dH= → =
2
10
11
Onde Q (m³/s) é a vazão em regime permanente, K (m/s) é um coeficiente e H (m) 
é a altura do nível. Assim,
R
dH
dQ
H
K
= =
2
Onde:K Q
H
=
Logo para o fl uxo turbulento:
R
H
Q
=
2
Observe a imagem que representa o sistema para o nível de líquido, as variáveis são:
• Q 
–
 (m³/s) vazão do volume em regime permanente;
• qi (m³/s) pequeno desvio da vazão de entrada em relação ao valor de seu 
regime permanente;
• qo(m³/s) pequeno desvio da vazão de saída em relação ao valor de seu regime 
permanente;
• H 
–
 (m) altura do nível em regime permanente;
• h (m) pequeno desvio do nível em relação ao valor de seu regime permanente.
A capacitância C (m³/m) do reservatório é a variação na quantidade de líquido 
no reservatório necessária para causar o aumento nopotencial (altura) de uma 
unidade – observe a diferença entre capacidade (m³) e capacitância (m²).
Esse sistema é linear se o fluxo for laminar, ou ainda poderá ser linearizado, no caso 
do fluxo turbulento, se as variáveis tiverem pequenas variações. 
Logo, podemos dizer que a quantidade adicional armazenada no reservatório 
C ∙ dh é igual à diferença entre fluxo de saída e fluxo de entrada durante um inter-
valo de tempo dt. A equação diferencial relativa ao sistema é:
C dh q q dti O. = −( )
Onde:
q
h
RO
=
Então,
C dh q
h
R
dt C dh
q R h
R
dt
RC
dh
dt
h Rq
i
i
i
. .
.
= −




 → =
−
+ =
11
UNIDADE Sistemas de Primeira Ordem e de Segunda Ordem
Se recorrermos às unidades anteriores, onde vimos a transformada de Laplace, 
com condições iniciais nulas, poderemos escrever:
RCs H s RQ si+( ) ( ) = ( )1
E a função e transferência desse sistema serão dadas por:
H s
Q s
R
RCsi
( )
( )
=
+1
Onde vemos uma equação típica para um sistema de primeira ordem.
Exemplo 2: 
O segundo exemplo é um sistema típico de pressão. Observe a imagem a seguir:
Resistência
R
P + pi
P + po
Capacitância
C
q
Figura 6
Devemos considerar que o sistema da imagem é um sistema ideal, com somente 
pequenos desvios de suas variáveis em relação aos valores de regime permanente; 
sendo assim, podemos considerá-lo um sistema linear. Sejam as variáveis relativas 
ao sistema:
• P 
–
 (N/m²) é a pressão do gás no recipiente;
• pi (N/m²) é uma pequena variação na pressão do gás no fluxo de entrada;
• po (N/m²) é uma pequena variação na pressão do gás no recipiente;
• V (m³) é o volume do recipiente;
• m (kg) é a massa do gás no recipiente;
• q (kg/s) é o fluxo do gás;
• ρ (kg/m³) é a densidade do gás.
Se os valores da variação na pressão do gás na entrada e no recipiente são 
pequenos, a resistência R pode ser escrita como:
R
p p
q
i O=
−
12
13
Já a capacitância C será dada por:
C
dm
dp
=
Onde se pode escrever que:
Cdp qdtO =
Então,
C
dp
dt
p p
R
O i O=
−
Que rearranjada é:
RC
dp
dt
p pO O i+ =
Utilizando a transformada de Laplace, podemos escrever:
RCsP s P s P sO O i( ) + ( ) = ( )
Se Pi for considerada uma entrada e Po uma saída, então a função de transferência 
do sistema será dada por:
P
P RCs
O
i
=
+
1
1
Que é uma equação típica para um sistema de primeira ordem.
Exemplo 3:
O terceiro exemplo para sistemas de primeira ordem é um sistema de aquecimento 
do tipo ilustrado na imagem:
Misturador
Líquido
Quente
Líquido
Frio
Aquecedor
Misturador
Figura 7
13
UNIDADE Sistemas de Primeira Ordem e de Segunda Ordem
Para esse exemplo, novamente consideraremos um sistema perto do ideal, onde o 
reservatório seja isolado e as perdas de calor para o ambiente externo sejam mínimas, 
a ponto de serem desprezíveis. Consideraremos também que o líquido no recipiente 
possa ser perfeitamente misturado de tal maneira que a temperatura fique uniforme 
em toda distribuição. Então, podemos definir algumas variáveis, tais quais:
•	 Θi 
–
 (°C) é a temperatura do líquido de entrada em regime permanente;
•	 Θo 
–
 (°C) é a temperatura do líquido de saída em regime permanente;
• G (kg/s) é a vazão do líquido em regime permanente;
• M (kg) é a massa de líquido no reservatório;
• c (kcal/kg°C) é o calor específico do líquido;
• R (°Cs/kcal) é a resistência térmica;
• C (kcal/°C) é a capacitância térmica;
• H 
–
 (kcal/s) é a taxa de entrada de calor em regime permanente.
Para escrever a função de transferência desse sistema, vamos supor que, ao ser 
ligado, o sistema receba um aumento na taxa de entrada de calor e ela então seja 
H 
–
 + hi e, portanto, a taxa de saída de calor também sofrerá uma variação para 
H 
–
 + hi. Com o aumento da quantidade de calor, a temperatura de saída do líquido 
será . Os valores , C e R podem ser obtidos com:
h GcO = θ
E:
C Mc
R
h GcO
=
= =
θ 1
A equação que balanceia a entrada de calor no sistema pode ser escrita como:
Cd h h dti Oθ = −( )
• Ou ainda:
C
d
dt
h hi O
θ
= −
E:
RC
d
dt
Rhi
θ
θ= −
14
15
Utilizando a anti-transformada de Laplace, teremos:
RCs s RH s siΘ Θ( ) = ( ) − ( )
E sendo Θ(s) a temperatura final de saída e Hi(s) a taxa de entrada de calor no 
sistema, a função de transferência poderá ser escrita como:
Θ s
H s
R
RCsi
( )
( )
=
+1
A equação apresentada é uma equação típica para sistemas de primeira ordem.
Sistemas de Segunda Ordem
Os sistemas de segunda ordem podem ser representados pela seguinte função 
de transferência:
C s
R s s
n
n n
( )
( )
=
+ +
ω
ξω ω
2
2 22
Onde ωn é a frequência natural não amortecida e ξ é o coeficiente de amorte-
cimento do sistema. Aliás, esses dois parâmetros são fundamentais, pois deter-
minarão o comportamento dinâmico do sistema – assim como determinarão a 
resposta do sistema a entradas típicas do tipo impulso, degrau, rampa etc. Outro 
fator importante determinado pelos parâmetros fundamentais em um sistema de 
segunda ordem é a estabilidade do sistema. Quanto à estabilidade e ao coeficiente 
de amortecimento, tem-se as seguintes relações:
• Se 0 < ξ < 1, os polos de malha fechada (ver unidades anteriores) são com-
plexos conjugados. O sistema é dito subamortecido e a resposta transitória é 
oscilatória – estudaremos a resposta transitória em breve, na Unidade V;
• Se ξ = 0, a resposta transitória não decai;
• Se ξ = 1, o sistema é dito criticamente amortecido;
• Se ξ > 1, o sistema é dito superamortecido.
Estudaremos os efeitos do coeficiente de amortecido mais detalhadamente na 
próxima unidade.
Exemplo 1:
Para ilustrar um sistema de segunda ordem, utilizaremos como exemplo de sis-
tema real um sistema de nível de líquido com interação, conforme mostra a figura 
a seguir:
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UNIDADE Sistemas de Primeira Ordem e de Segunda Ordem
Q + qi
Reservatório 1 Reservatório 2
R1 R2
C1 C2Q + q1
Q + q2
H1 + q1
H2 + q2
Figura 8
No sistema da imagem, o reservatório 1 tem ligação com o reservatório 2, e 
surgem duas novas variáveis. As equações agora ficam da seguinte maneira:
h h
R
q
C
dh
dt
q q
h
R
q
C
dh
dt
q q
1 2
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
1 2
−
=
= −
=
= −
Se considerarmos Q como entrada e Q2 como saída, a equação diferencial para 
esse sistema é:
Q s
Q s R C R C s R C R C R C s
2
1 1 2 2
2
1 1 2 2 2 1
1
1
( )
( )
=
+ + +( ) +
Que é uma equação típica para sistema de ordem dois.
Exemplo 2:
O segundo exemplo para um sistema típico de ordem dois é um mecanismo de 
posicionamento angular, conforme ilustra a imagem a seguir:
J
B
T
θ
Ta
Figura 8
16
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Esse tipo de sistema é o sistema que modela diversos dispositivos com braços 
móveis, como máquinas-ferramentas, antenas de radares, robôs, máquinas para 
construção civil, câmeras inteligentes móveis etc.
Observe na imagem o torque inicial Ta, ele provém de um estímulo externo, 
como um circuito elétrico, ou um algo semelhante. O giro em Ta transmite um 
torque T proporcional que deslocará o sistema de um ângulo, θ. Conforme vimos 
na Unidade III, esse sistema está associado a um momento de inércia J e um 
coeficiente de atrito B (do acoplamento de engrenagens, polias etc.). E, dessa 
maneira, o torque total relacionado ao sistema pode ser escrito como:
T T TJ B= +
Ou ainda:
T J
d
dt
B
d
dt
= +
2
2
θ θ
Utilizando a transformada de Laplace, teremos:
T s Js s Bs s( ) = ( ) + ( )2θ θ
E sendo T(s) entrada e θ (s) saída, temos a função de transferência desse sistema 
dada por:
θ s
T s Js Bs
( )
( )
=+
1
2
Que é equação típica para um sistema de ordem 2.
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UNIDADE Sistemas de Primeira Ordem e de Segunda Ordem
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Sites
A Função de Transferência
https://goo.gl/hepcbc
 Vídeos
Título do vídeo
Sistemas de Controle (4/8) Sistemas de Primeira Ordem
https://youtu.be/2oOTkSRnaG4
Sistemas de Controle (5/8) Sistemas de Segunda Ordem
https://youtu.be/UVFer8huMKE
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Referências
OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. 5. ed. São Paulo: Pearson Pren-
tice Hall, 2010. 
DE SOUZA, Antônio Carlos Zambroni et. al. Projetos, simulações e experiências 
de laboratório em sistemas de controle. 1. Ed. Rio de Janeiro: Interciência, 2014.
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