Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra_Vol 2

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Ana Lúcia Vaz da Silva
Andreia Carvalho Maciel Barbosa
Marcelo Almeida Bairral
Rosana de Oliveira
 
Volume 2
Instrumentação do Ensino da 
Aritmética e Álgebra
Apoio:
2009/2 
ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO
Ana Lúcia Vaz da Silva
Andreia Carvalho Maciel Barbosa
Marcelo Almeida Bairral
Rosana de Oliveira
COORDENAÇÃO DE DESENVOLVIMENTO 
INSTRUCIONAL
Cristine Costa Barreto
DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONAL 
E REVISÃO
Anna Carolina da Matta Machado
Anna Maria Osborne
José Meyohas
COORDENAÇÃO DE LINGUAGEM
Maria Angélica Alves
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eletrônico, mecânico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, da Fundação.
S586i
Silva, Ana Lúcia Vaz da.
Instrumentação do ensino da aritmética e álgebra. v. 2 / 
Ana Lúcia Vaz da Silva et al. – Rio de Janeiro: Fundação 
CECIERJ, 2006.
266p.; 21 x 29,7 cm.
ISBN: 85-7648-139-1
1. Régua de Cuisenaire. 2. Jogos. 3. Equações. 4. 
Inequações. I. Barbosa, Andreia Carvalho Maciel. II. Bairral, 
Marcelo Almeida. III. Oliveira, Rosana de. V. Título. 
 CDD: 510.028
Fundação Cecierj / Consórcio Cederj
Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira – Rio de Janeiro, RJ – CEP 20943-001
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Universidades Consorciadas
Instrumentação do Ensino da 
Aritmética e Álgebra
SUMÁRIO
Volume 2
Aula 11 – Réguas de Cuisenaire: cores, combinações, operações 
 com naturais e coisas mais ____________________________________7
Aula 12 – Vamos jogar sinuca? ______________________________________ 29
Aula 13 – Jogos com números _______________________________________ 63
Aula 14 – Resolvendo equações e inequações: para além da álgebra __________ 83
Aula 15 – Equação do 2º grau: para além da fórmula de Bhaskara... __________ 111
Aula 16 – Mais álgebra: multiplicando e fatorando casos notáveis! __________ 133
Aula 17 – Passeando sobre as curvas: uma interpretação gráfi ca! ___________ 155
Aula 18 – Vamos às progressões! ___________________________________ 175
Aula 19 – Movendo discos, formando torres e pensando indutivamente _______ 203
Aula 20 – Um relacionamento quase perfeito: funções 
 e proporcionalidades ______________________________________ 225 
Referências __________________________________________________ 247
Módulo Prático ______________________________________________ 253
Réguas de Cuisenaire: cores, 
combinações, operações 
com naturais e coisas mais
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta 
aula, você seja capaz de:
• Utilizar as réguas de Cuisenaire como recurso 
de aprendizagem.
• Desenvolver atividades para alunos a partir da 
5ª série pautadas no pensamento combinatório.
Pré-requisitos 
Para o bom desenvolvimento desta aula, é bom que você relembre 
o Triângulo de Pascal e o Binômio de Newton – você poderá encontrar 
esses conteúdos em qualquer livro didático de Matemática do Ensino 
Médio. Disponha, também, de cartolinas coloridas para construir 
as réguas de Cuisenaire.
ob
je
ti
vo
s
Meta da aula 
Instrumentalizar o trabalho 
com as réguas de Cuisenaire.
11AULA
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Réguas de Cuisenaire: cores, combinações, 
operações com naturais e coisas mais
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É comum pensarmos que os recursos lúdicos (jogos, softwares educacionais, 
desafi os lógicos etc.) devem ser trabalhados apenas nas séries iniciais. Nesta aula, 
você verá que, dependendo do objetivo do professor, determinado recurso pode 
ser explorado em séries diversas. Para exemplifi carmos esta idéia, trabalharemos 
com as réguas de Cuisenaire.
INTRODUÇÃO
CONVERSANDO SOBRE HISTÓRIA: 
AS RÉGUAS DE CUISENAIRE
Este material tem esse nome devido ao seu criador: Emile Georges 
CUISENAIRE. 
CUISENAIRE (1891-1980)
Era professor de Matemática na Bélgica, e, ao se impressionar com uma cena de 
um aluno desesperado, em uma de suas salas de aula, decidiu criar um material que 
ajudasse no ensino dos conceitos básicos de Matemática. Então, cortou algumas 
réguas de madeira em 10 tamanhos diferentes e pintou cada peça de uma cor. 
Foi assim que surgiu a Escala de Cuisenaire.
Há meio século, quando Cuisenaire inventou este material, ele não 
sabia se daria certo, porém, na primeira aula em que o testou, constatou 
que sua intuição estava correta. Só mais tarde o professor fi cou conhecido 
fora do país, quando o educador egípcio CALEB GATEGNO, radicado na 
Inglaterra e famoso por suas pesquisas em Educação Infantil, recebeu 
de um amigo belga um convite para conhecer o homem que ensinava 
números com barras coloridas. Apesar de descrente, ele aceitou. 
Ao ver o material, encantou-se e disse: “esse homem mostra técnicas 
às crianças que são um milagre para a educação”. O egípcio passou 
a divulgar o trabalho de Cuisenaire – a quem chamava de Senhor Barrinhas. 
Cuisenaire e Gategno tornaram-se conhecidos em todo o mundo.
CALEB GATEGNO (1911-1988)
Foi um importante matemático e psicólogo criador de vários materiais e situações 
didático-pedagógicas, como o geoplano e as réguas de Cuisenaire. Entre 1944 e 
1988, publicou cerca de 120 livros e 500 artigos em revistas científi cas de vários 
países. Nasceu em Alexandria (Egito), trabalhou na Inglaterra e Estados Unidos, 
e morreu em Paris.
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Para acompanhar as atividades desta aula, você deverá confeccionar (colorir 
e recortar) as réguas de Cuisinaire planifi cadas conforme consta do Módulo 
Prático. Você poderá também utilizar o próprio material em madeira ou E.V.A. 
que existe no mercado. A seguir, apresentamos os tamanhos, cores e letras 
correspondentes a cada número:
!
Cor Letra Tamanho
branca b 1b
vermelha v 2b
verde-claro c 3b
roxa r 4b
amarela a 5b
verde-escuro e 6b
preto p 7b
marrom m 8b
azul z 9b
laranja l 10b
CONVERSANDO SOBRE O SEU LABORATÓRIO 
DE ARITMÉTICA E ÁLGEBRA
As réguas de Cuisenaire, também conhecidas como escalas ou barras 
de Cuisenaire, constituem um material didático composto de várias barras, 
cada uma de cor e tamanho diferentes. As barras são paralelepípedos 
de mesma altura e mesma largura. A menor das barras tem 1cm de 
comprimento e representa uma unidade. A segunda tem 2cm e representa 
o número 2, e assim por diante, até a maior, de 10cm, que indica o 10. 
Para nomear uma peça
nas atividades, estare-
mos utilizando as co-
res. Por isso, uma alter-
nativa possível será 
recortar esta tabela do 
Módulo Prático. Esta 
alternativa não deve 
ser usada inicialmente 
com os alunos, visto 
que nada substitui a 
riqueza da manipulação 
do material original.
!
Para facilitar o manuseio,você pode aumentar o tamanho das 
peças. É só estabelecer proporcionalidade com a unidade utilizada. 
Manipulando as peças, o aluno aprende aspectos conceituais elementares 
relacionados com adição, subtração e outros elementos associados como 
o dobro de, a metade de uma quantidade etc. Inicialmente, vamos 
reconhecer as barras de Cuisenaire.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Réguas de Cuisenaire: cores, combinações, 
operações com naturais e coisas mais
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Geralmente, quando iniciamos o trabalho com um recurso novo para os 
alunos, uma tarefa recomendável é a exploração e o reconhecimento, pelo 
próprio estudante, do material. Nesta familiarização, ele vai estabelecer 
códigos, falar do material e construir representações e formas variadas para 
explorar o recurso.
!
CONHECENDO O MATERIAL
Após a exploração inicial, veja como a professora Maria Amélia 
descreveu as réguas.
As réguas de Cuisenaire constituem um recurso composto 
por paralelepípedos com diferentes cores e tamanhos. São 10 tipos 
de réguas, cada tipo uma cor e tamanho diferentes. Tomando como 
unidade a menor peça ou régua (cor – marfi m), que é um cubo, o tamanho 
das outras é aumentado de um cubo gradualmente. Veja a seguir:
Peça 1: 1 cubo marfi m (branco);
Peça 2: 1 paralelepípedo vermelho equivalente a 2 peças marfi m;
Peça 3: 1 paralelepípedo verde-claro equivalente a 3 peças marfi m;
Peça 4: 1 paralelepípedo vinho equivalente a 4 peças marfi m;
Peça 5: 1 paralelepípedo amarelo equivalente a 5 peças marfi m;
Peça 6: 1 paralelepípedo verde-escuro equivalente a 6 peças marfi m;
Peça 7: 1 paralelepípedo preto equivalente a 7 peças marfi m;
Peça 8: 1 paralelepípedo marrom equivalente a 8 peças marfi m;
Peça 9: 1 paralelepípedo azul equivalente a 9 peças marfi m;
Peça 10: 1 paralelepípedo laranja equivalente a 10 peças marfi m.
Observe que a professora se orientou pelo rigor da linguagem 
geométrica, escrevendo paralelepípedos. Lembre-se de que o cubo é um 
tipo especial de paralelepípedo.
Pensamos que a nomenclatura deve ser introduzida naturalmente ao longo 
do trabalho, sem excessos de formalismos. Assim, não vemos problemas, 
nas séries iniciais, no fato de a criança utilizar os termos “quadradinhos” 
para cubos e dizer que eles têm a “cor branca”. O professor deve utilizar 
os termos corretamente, negociando o vocabulário com as crianças pequenas. 
Ele deve chamar a atenção dos alunos para este “erro lingüístico-conceitual”. 
Os nomes de objetos matemáticos trazem em si uma idéia conceitual. 
Esse alerta é uma boa oportunidade para inserir e relacionar atividades 
geométricas e aritméticas, como as realizadas com as réguas de Cuisenaire.
!
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Você deve ter observado que a utilização de letras é importante; 
por isso, o uso de uma simbologia comum a todos os alunos deve ser 
acordada previamente com a turma. 
Também podemos utilizar as réguas nas diversas séries e de 
maneiras diferentes, por exemplo, para ensinar conceitos de soma, 
subtração, multiplicação, divisão, frações, área etc. Veja, agora, como 
a professora Georgina pensou em utilizar as barrinhas em suas aulas.
ADIÇÕES, SUBTRAÇÕES, COMPARAÇÕES, 
COMBINAÇÕES ETC.
A professora verifi cou que este recurso didático pode ser utilizado 
desde as primeiras séries, aplicando-o às operações básicas. Deste modo, 
podemos iniciar o processo de contagem. Na soma, por exemplo, 
podemos perguntar ao aluno que peças formam a amarela.
Ao mesmo tempo que trabalhamos a adição, podemos trabalhar a 
subtração. Quando temos, por exemplo, 5
2 3
, ao mesmo 
tempo que visualizamos que 5 = 2 +3, podemos trabalhar também a 
subtração, pensando que se da barra do 5 retirarmos a barra do 2, fi camos 
com a barra do 3. 5
3
 → 3, ou seja, 5 - 2 = 3.
As réguas de Cuisenaire 
abordam apenas um 
aspecto conceitual da 
subtração: a idéia de 
quanto falta. O aspecto 
da diferença (tirar uma 
quantidade de outra) 
não faz sentido, pois, 
conforme percebeu 
muito bem a professora 
Georgina, não podemos 
quebrar peças. 
!
Observe que há vários conceitos com que lidamos no desenvolvimento de 
atividades como a exemplifi cada pela professora Georgina. Adição, subtração 
e combinação (com ou sem repetição de elementos). Neste processo 
de construção do conhecimento, que não é estanque nem seqüencial 
(adição subtração combinação), também são desenvolvidas diferentes 
formas de escrever (representar) quantidades, por exemplo, o 5 (2+2+1, 
1+1+1+1+1, 4 + 1, 1 + 4 etc.).
a
b b b b b
bv
v
v
b r
c
5
1 1 1 1 1
12 2
2
1 4
3
= branca / marfi m (unidade)
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operações com naturais e coisas mais
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ATIVIDADE COMPLEMENTAR 1
Escolha uma régua e encontre todas as peças que, juntas, correspondem ao seu 
tamanho. 
Para esta atividade, é 
importante que você 
utilize as réguas de 
Cuisenaire compradas 
ou confeccionadas por 
você.
!
 COMENTÁRIO 
A primeira ilustração é um exemplo de como você deve encaminhar essa 
atividade. Registre suas respostas e converse com o tutor. A resposta 
dependerá da peça escolhida. O importante é que você conheça a estrutura 
e o objetivo do material.
É importante destacar a presença de um outro conceito importante neste 
trabalho: o de equivalência. Entendê-lo, diferenciando-o de igualdade, é 
essencial para o estudo das equações, que você verá nas Aulas 14 e 15.
ATIVIDADES
1. Utilizando as réguas de Cuisenaire, complete as expressões seguintes, 
tornando-as verdadeiras.
a. __________________ é metade da peça _______________.
b. _____________________ é o dobro da peça _______________.
c. __________________ é o triplo da peça ________________.
d. __________________ é a oitava parte da peça _____________.
e. ___________________ é quatro vezes a peça vermelha.
f. A peça branca é a sétima parte da peça ________________.
g. __________________ é a terça parte da peça azul.
h. ______________ é oito vezes a peça____________.
i. _______________ é a quinta parte da peça ___________.
MULTIPLICAÇÕES, DIVISÕES, FRAÇÕES, 
COMPARAÇÕES ETC.
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 COMENTÁRIO 
Observe que, manipulando as peças, o aluno desenvolve aspectos conceituais 
elementares relacionados com adição, subtração e outros elementos 
associados, como o dobro de, a metade de uma quantidade etc. Este tipo de 
atividade também é muito recomendável para 5ª e 6ª séries.
Utilizando as réguas de Cuisenaire, também podemos realizar outras 
multiplicações e desenvolver conjuntamente o conceito de área (como 
espaço ocupado). 
2. De que maneira, utilizando as réguas podemos preencher o espaço 
delimitado pelas peças roxa e verde-claro? Encontre soluções possíveis, 
usando:
a. Peças de uma mesma cor.
b. Peças de cores diferentes.
c. Qual o número máximo e o mínimo de peças que pode ser utilizado 
em cada caso?
 COMENTÁRIO 
Observe que, para responder a este tipo de questão, devemos sempre 
recorrer à unidade (o cubo, ou quadrado). O número máximo de peças será 
determinado pela multiplicação 4 x 3, ou seja, 12 cubinhos. Veja:
r
c
r
c
r
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Réguas de Cuisenaire: cores, combinações, 
operações com naturais e coisas mais
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O número mínimo, para preencher o espaço delimitado pelas duas 
peças, será determinado pela peça de maior tamanho, neste caso, a roxa.
Podemos pensar em outras peças que resultem na quantidade 12.
Por exemplo, uma laranja e uma vermelha. Neste caso, faz sentido 
falarmos de equivalência de quantidades, sem que as mesmas preencham 
o espaço, pois a peça laranja não cabe na região delimitada. Este tipo de 
discussão pode gerar novas e diferentes tarefas!
Dentre as atitudes dos alunos, devemos esperar que eles não aceitem uma 
única resposta, que zelem pelo material e que se ajudem durante a atividade. 
Além disso, o professor poderá identificar os procedimentos adotados pelos 
alunos e provocá-los para suscitar questionamentos sobre as tarefas.
!
Outros questionamentos podem ser feitos neste tipo de situação. 
Por exemplo, a disposição de cada peça infl uencia na quantidade fi nal 
de quadradinhos?
r
r
r
r
c
r
r
c
c
3 peças roxas
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ATIVIDADE COMPLEMENTAR 2
Que respostas e exemplos você daria aos seus alunos à pergunta anterior?
 COMENTÁRIO 
Fazer os desenhos ajuda no desenvolvimento da atividade, porém, 
dependendo da maturidade e familiaridade do aluno com o material, 
ele não terá difi culdades em responder a este tipo de questionamento. 
Apresente suas respostas ao tutor e converse com ele.
Atividades similares envolvendo a formação de fi guras, contagem e outros 
conceitos geométricos como o de simetria, também podem ser pensadas.
Ao abordarmos a divisão, é importante trabalhar com a idéia de 
quantos cabem. Veja!
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operações com naturais e coisas mais
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ATIVIDADE 
3. Refl ita e responda às seguintes perguntas.
a. Quantas peças amarelas formam a peça laranja ou quantas vezes a peça 
vermelha cabe na peça laranja?
b. Estabeleça outras relações entre as diferentes peças.
c. Faz sentido perguntar quantas vezes a peça marrom cabe na peça roxa?
 COMENTÁRIO 
Na resposta do item a e nas relações em que a peça menor cabe um 
número inteiro de vezes na peça maior, é provável que os alunos não tenham 
difi culdade em responder. No item c, a resposta não é um número inteiro, ou 
seja, a peça marrom não cabe inteira na peça roxa e sim a metade dela.
ASSOCIANDO NÚMEROS, FORMAS E QUANTIDADES 
VARIADAS
ATIVIDADE COMPLEMENTAR 3
De quantas maneiras podemos formar um terreno retangular de 20 unidades de 
área utilizando no máximo duas cores? Que peças podem ser utilizadas? Qual a 
maior possível? Justifi que suas respostas.
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ATIVIDADE COMPLEMENTAR 4
Deseja-se colocar piso numa sala retangular de 36 unidades de área. Utilizando 
pisos de mesma cor, responda qual o menor gasto para o serviço, sabendo que:
• uma peça branca custa 1 real;
• uma peça vermelha custa 1 real e 50 centavos;
• uma peça roxa custa 4 reais e 50 centavos;
• uma peça laranja custa 12 reais;
• uma peça preta custa 6 reais;
• uma peça marrom custa 7 reais e 50 centavos;
• uma peça verde-escura custa 5 reais;
• uma peça verde-clara custa 1 real e 75 centavos;
• uma peça azul custa 10 reais;
• uma peça amarela custa 4 reais.
 COMENTÁRIO 
Como registro de resolução das Atividades Complementares 3 e 4, você deve 
utilizar desenhos, tabelas, esquemas e cálculos. Mais que chegar a uma resposta 
fi nal da atividade, você deve pensar em possibilidades de resoluções que seus 
alunos ou mesmo seus colegas poderão dar.
Observe que, apesar de utilizarmos expressões comuns em nosso dia-a-dia 
(terreno, área, piso, preços), atividades como as complementares 3 e 4 abordam 
o cotidiano em sua semi-realidade, pois a realidade cotidiana é mais complexa. 
Para saber mais sobre essa conceituação, leia Skovsmose (2001).
!
É importante você ter clareza de que todo material tem suas limitações, 
e não podemos exigir dele mais do que pode nos oferecer. Por exemplo, 
atividades como as complementares 3 e 4 podem ser exploradas em outros 
contextos e de outras formas. Apesar da motivação propiciada por um 
recurso, nem sempre seu uso garante uma aprendizagem efetiva. 
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Réguas de Cuisenaire: cores, combinações, 
operações com naturais e coisas mais
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ATIVIDADE 
4. O professor Fernando comentou que, dependendo da série, podemos 
trabalhar o conceito de números primos, por exemplo, quando for observado 
que para alguma peça não é possível colocarmos uma quantidade inteira 
de outra peça menor, a não ser a unidade e a própria peça a ser dividida. 
Dê exemplos de peças para as quais esta regra é válida.
 COMENTÁRIO 
Faça uma investigação utilizando todas as peças, assim você estará 
identifi cando os números primos de 1 a 10.
A METÁFORA DO TREM
Neste momento da aula, consideramos que você tenha conhecido 
diferentes possibilidades de trabalhar com as réguas de Cuisenaire, 
principalmente com atividades para 5ª e 6ª séries. Vamos continuar, 
agora, com uma atividade proposta pelo professor ARTHUR.
ARTHUR B. POWELL
É professor da Rutgers Universiy (EUA). É um reconhecido educador matemático, 
muito comprometido no desenvolvimento de projetos que objetivem uma 
aprendizagem matemática signifi cativa, e tem visitado regularmente o Brasil. 
Além disso, é um dos consultores e colaborador assíduo do Gepem (Grupo de 
Estudos e Pesquisas em Educação Matemática).
Esta atividade com as Réguas de Cuisenaire foi desenvolvida em grupo 
pelo professor Arthur. Cada grupo fez um relatório para ser entregue ao 
professor para que, na próxima aula, pudessem fazer alguns comentários.
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ATIVIDADE 
5. Quantos trens podemos formar com uma peça de um determinado 
tamanho, incluindo ela mesma e as peças menores que ela, ou seja, quantos 
trens podemos construir com cada peça, incluindo-a?
 COMENTÁRIO 
Esta é uma atividade aberta e inicialmente provocará muitos questionamentos, 
por isso, procure desenvolvê-la em grupo. Procure registrar suas idéias e 
dúvidas desde o início da leitura.
A peça considerada é 
um vagão de um trem. 
As outras peças e suas 
diferentes combinações 
formarão trens de mes-
mo tamanho da peça 
considerada, porém com
número de vagões dife-
renciado. 
!
Aproveitando o exemplo utilizado no início da aula, faça composições de 
tamanho que cheguem à peça amarela. Vejamos alguns trens que foram 
formados.
Mas atenção! Consideramos que, alterando a ordem dos vagões, 
teremos trens diferentes, ou seja, uma peça branca e uma marrom é um 
trem diferente de uma peça marrom e uma branca. O mesmo acontecerá 
com as outras peças. Por exemplo, com as peças vermelha e branca (3ª linha 
da ilustração anterior), poderemos formar três trens: vermelha-vermelha-
branca, vermelha-branca – vermelha e branca-vermelha-vermelha.
Agora é o momento de você voltar às dúvidas anteriormente 
registradas e procurar saná-las.
b b b b b
v v
b r
 COMENTÁRIO 
Não se preocupe com a resposta fi nal agora. Procure entender o processo 
de construção dos trens. Você pensou em começar pela peça mais simples, 
ou seja, a de menor tamanho? Mãos à obra!
a
b
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Réguas de Cuisenaire: cores, combinações, 
operações com naturais e coisas mais
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Depois de anotadas as suas novas observações e descobertas, siga 
em frente. O que faremos agora será analisar a resposta de três estudantes 
(Paulo, Kíssila e Rita) do 3º ano do Ensino Médio do Professor Walker.
É importante você entender que, ao contrário do que muitos professores 
pensam, o Ensino Médio é também um nível em que devemos utilizar recursos 
didáticos. Mesmo que pareça infantil para alguns alunos, eles perceberão 
paulatinamente o valor e a importância dos mesmos em sua aprendizagem.
!
ATIVIDADE 
6. Nesta atividade, você analisará a resposta de cada aluno e, ao fi nal, 
compará-las às suas respostas.
 COMENTÁRIO 
Faça uma investigação utilizando todas as peças.
Aluno Paulo
Peça Nº de trens Tipos de trens
1 1 1T de 1V
2 2 1T de 1V, 1T de 2V
3 4 1T de 1V, 2T de 2V, 1T de 3V
4 8 1T de 1V, 3T de 2V, 3T de 3V, 1T de 4V
5 16 1T de 1V, 4T de 2V, 6T de 3V, 4T de 4V, 1T de 5V
:
:
:
:
:
:
V - vagão
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Complementa o aluno: “Organizando o número de trens em ordem 
crescente de vagões, obtemos o triângulo de Pascal.”
1
1 1 
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
:
:
Também podemos visualizá-lo da seguinte forma:
Vagões
T
r
e
n
s
m
1 2 3 4 5 ...
1 1 0 0 0 0 ...
2 1 1 0 0 0 ...
3 1 2 1 0 0 ...
4 1 4 6 4 1 ...
5
:
:Observando a tabela anterior, considere an igual ao número de trens e n 
igual ao valor de peças (quantas unidades a peça vale).
Para:
 a1= 2
1-1= 20= 1
a2= 2
2-1= 21= 2
a3= 2
3-1= 22= 4
a4= 2
4-1= 23= 8
a5= 2
5-1= 24= 16
:
:
an= 2
n-1
Utilizaremos esta fórmula para determinar o número de trens que podemos 
ter com uma peça que vale n unidades.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Réguas de Cuisenaire: cores, combinações, 
operações com naturais e coisas mais
C E D E R J22
Aluna Kíssila
Após ver a aplicabilidade deste recurso nas séries iniciais, foi proposto o 
seguinte desafi o: para cada peça quantos trens (ou tiras) com o mesmo 
tamanho é possível construir utilizando outras peças, inclusive a mesma?
Com uma certa maturidade adquirida pela atividade anterior com a Torre 
de Hanói, tivemos o cuidado de anotar os resultados em uma tabela cujo 
formato foi sugerido pelo professor, como segue abaixo:
Peça Nº de trens Tipo de trem
1 - marfi m 1 1 trem de 1 vagão
2 - vermelha 2 1 trem de 1 vagão e
1 trem de 2 vagões
3 - verde-claro 4 1 trem de 1 vagão;
2 trens de 2 vagões e
1 trem de 3 vagões
4- vinho 8 1 trem de 1 vagão;
3 trens de 2 vagões;
3 trens de 3 vagões e
1 trem de 4 vagões
5- amarelo 16 1 trem de 1 vagão;
4 trens de 2 vagões;
6 trens de 3 vagões;
4 trens de 4 vagões e
1 trem de 5 vagões
... ... ...
Com esses resultados, percebeu-se que o número de trens cresce segundo 
uma progressão geométrica cujo primeiro termo vale 1 e a razão é 2. Assim, 
seja an = a1q
n-1, em que a é o número de trens formados, n o número de 
unidades (marfi m) equivalentes à peça e q a razão 2, portanto, temos 
que an = 2
n-1. 
Percebemos também que de acordo com n são formados n tipos de trens, 
por exemplo: para a peça marfi m (n=1) existe 1 tipo de trem; para a peça 
vermelha (n=2) existem 2 tipos de trens (com 1 vagão e com 2 vagões); 
para a peça verde-clara (n=3) existem 3 tipos de trens (com 1 vagão, com 
2 vagões e com 3 vagões) e assim por diante. Note que para cada peça 
o número de vagões varia de 1 a n. Veja estes resultados (até a peça 5) 
na tabela a seguir.
Número de trens formados de acordo com o número de vagões
1 vagão 2 vagões 3 vagões 4 vagões 5 vagões
Peça 1 1
Peça 2 1 1
Peça 3 1 2 1
Peça 4 1 3 3 1
Peça 5 1 4 6 4 1
A
U
LA
 
11
 
C E D E R J 23
Da tabela anterior podemos concluir que:
– todas as linhas começam e terminam com o número 1;
– os demais elementos são a soma do elemento da linha acima (na mesma 
coluna) com o anterior (na coluna anterior e na linha acima).
Com essas observações, concluímos que esta estrutura obedece ao 
triângulo de Pascal.
Número de trens formados de acordo com o número de vagões
1 vagão 2 vagões 3 vagões 4 vagões 5 vagões
Peça 1 C0,0
Peça 2 C1,0 C1,1
Peça 3 C2,0 C2,1 C2,2
Peça 4 C3,0 C3,1 C3,2 C3,3
Peça 5 C4,0 C4,1 C4,2 C4,3 C4,4
Sabemos que Cp,k =
p!
k! p - k !( )
k p≤ Em que n é o número de 
unidades (marfi m) equivalen-
tes à peça e k é o número de 
vagões, note que k n≤ .
Para atender a estrutura da tabela, temos então:
C =
n -1 !
k -1 ! n -1- k -1
=
n -1 !
k -1 n - k !n-1,k-1
( )
( ) ( )( )
( )
( )( )
Assim, sendo Cp-1, k-1 é a quantidade de trens com k vagões de uma determinada 
peça p e an é o número total de trens formados para a peça n.
Anotamos os seguintes dados em uma tabela:
Nº de peças Nº de trens Tipos de trens
1 1 1 t com 1 v 
2 2 1 t com 1 v 
1 t com 2 v 
3 4 1 t com 1 v 
2 t com 2 v 
1 t com 3 v 
4 8 1 t com 1 v 
3 t com 2 v
3 t com 3 v 
1 t com 4 v
5 16 1 t com 1 v
4 t com 2 v;
6 t com 3 v
4 t com 4 v
1 t com 5 v
Onde t = trem e
v = vagão.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Réguas de Cuisenaire: cores, combinações, 
operações com naturais e coisas mais
C E D E R J24
Chegamos às seguintes conclusões:
• para cada peça existe um número de trens tp correspondente, ou seja,
tp = 2
p-1. t1 , como t1 = 1 fi camos com tp = 2
p-1;
• concluímos que a seqüência de trens é uma PG (Progressão Geométrica) 
de razão 2 e o primeiro termo 1.
Construímos a seguinte tabela:
Tipo (com k vagões)
1 v 2 v 3 v 4 v 5 v
Quantidade
de trens
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
Concluímos que a quantidade de trens correspondente à quantidade 
de vagões obedece à estrutura do triângulo de Pascal. Logo, podemos 
reescrever a tabela da seguinte maneira:
Tipo (com k vagões)
1 v 2 v 3 v 4 v 5 v
Quantidade
de trens
0
0
1
0
2
0
3
0
4
0
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
1
2
1
3
1
4
1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
2
3
2
4
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
3
4
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
4
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Para a tabela que acabamos de montar, 
p
k
=
p!
k! p-k !
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ( )
Porém, p e K ∈N* com K < p.
Portanto, para atender à estrutura da última tabela, temos de fazer:
A
U
LA
 
11
 
C E D E R J 25
p -1
k -1
=
p -1 !
k -1 ! p -1- k -1 !
=
p -1 !
k -1 ! p - k !
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
( )
( ) ( )⎡⎣ ⎤⎦
( )
( ) ( )
Ou seja, a quantidade de trens com k vagões de uma peça p ( tp,k) é dada por:
t
p -1
k -1p,k
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Portanto, a primeira tabela pode ser reescrita da seguinte forma:
Nº de peças Nº de trens Tipos de trens
p tp=2
p-1
t
p -1
k -1p,k
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Aluna Rita
Então, foi proposto o seguinte desafi o: quantos trenzinhos podemos 
formar a partir de uma determinada peça até chegarmos no de menor 
tamanho? Vejamos:
...Nº de peçasl Nº de trens Tipos de trens
b 1 1 t de 1 v 
v 2 1 t de 1 v e 1t de 2v
c 4 1 t de 1 v, 2t de 2v e 1t de 3v 
r 8 1 t de 1 v, 3t de 3v, 3t de 2v, 1t de 4v 
a 16 1 t de 1 v, 4t de 4v, 6t de 3v, 4t de 2v e 1t de 5v
... ............ ................................................................................
l 512 ................................................................................
Podemos observar que os tipos de trens formados descrevem o triângulo de 
Pascal e o número de trens formados por uma determinada peça equivale 
à soma das linhas do triângulo. Além disso, que o número de trens pode 
ser visto como uma PG de razão 2, vejamos: 
Termo Geral da PG: an = a1 q
(n-1).
Fica fácil perceber que a1=1 e a2=2, então, como q =
a
a
n
n-1
.
Substituindo a1 e a2 em q, temos q =
2
1
= 2 .
O Termo Geral pode ser substituído por: an = 1. 2
(n – 1).
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Réguas de Cuisenaire: cores, combinações, 
operações com naturais e coisas mais
C E D E R J26
Então, para a peça laranja temos a10 = 1. 2
(10 -1) = 1. 29 = 512.
A abordagem, segundo o triângulo de Pascal é uma forma de dispor os 
números binomiais formando um triângulo.
Lembrando que: 
n
p
=
n!
p! n - p !
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ( )
Vamos ao triângulo de Pascal:
b
0
0
v
1
0
1
1
c
2
0
2
1
2
2
r
3
0
→
→
→
→
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟→
3
1
3
2
3
3
a
4
0
4
1
4
2
4
33
4
4
l
10
0
10
1
10
2
10
10
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟→
⎛⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
... ......................................
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
......................................
......................................
A última linha do triângulo de Pascal fi ca:
n
0
n
1
n
2
n
3
n
n
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Antes de continuar sua leitura, fi nalize, como professor, a análise das respostas 
anteriores. Contraste cada resposta com a sua. Converse com o tutor.
......
A
U
LA
 
11
 
C E D E R J 27
CONCLUSÃO
No trabalho com as réguas de Cuisenaire, os estudantes 
desenvolvem sua capacidade de generalizar, analisar, sintetizar, inferir, 
formular hipóteses, deduzir, refl etir e argumentar. O desenvolvimento 
do pensamento combinatório é um aspecto presentenas atividades 
que gostaríamos de ressaltar. Não é objetivo do Ensino Fundamental 
o trabalho com o Binômio de Newton, porém os alunos poderão construir 
os trens e produzir generalizações pertinentes a esse nível de ensino.
R E S U M O
O pensamento combinatório se desenvolve num contexto de contagem. Neste, 
estão envolvidos diferentes processos: combinações, permutações, probabilidades, 
distribuição e organização de informações, estudo de eventos e freqüências etc. 
Além de realizar combinações e permutações manipulando as réguas de Cuisenaire, o 
aluno aprofunda aspectos conceituais relacionados à adição, subtração, multiplicação, 
divisão e fração, e outros elementos associados como o dobro de, a metade de uma 
quantidade etc. O uso do registro em suas diferentes formas (tabelas, quadros, 
ilustrações pictóricas etc.) é imprescindível para que o aluno possa analisar e revisar 
continuamente o seu aprendizado.
ATIVIDADE FINAL
Na Atividade 6, você analisou a resposta de três alunos do Ensino Médio. É possível 
que tenha construído um quadro com suas observações. Se não o fez, preencha 
o quadro seguinte considerando:
Aluno (a) Suas observações sobre registros feitos, conceitos presentes no 
desenvolvimento da descoberta, incorreções e conclusão ressaltada.
Paulo
Kíssila
Rita
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Réguas de Cuisenaire: cores, combinações, 
operações com naturais e coisas mais
C E D E R J28
AUTO-AVALIAÇÃO
Entender como trabalhar com as réguas de Cuisenaire e identifi car características 
do pensamento combinatório é essencial. Caso tenha tido difi culdades para analisar 
as respostas dos alunos Paulo, Kíssila e Rita volte, atentamente, às respostas de 
cada um e converse com o tutor. Preencher com compreensão o quadro anterior 
constitui uma importante estratégia auto-avaliativa de sua aprendizagem.
INFORMAÇÃO SOBRE A PRÓXIMA AULA
Na próxima aula, estudaremos múltiplos e divisores. 
Vamos jogar sinuca?
Ao fi nal desta aula, você deverá ser capaz de:
• Discutir o ensino de múltiplos e divisores.
• Aplicar diferentes atividades para o ensino 
de múltiplos e divisores.
• Utilizar o método investigativo nas formulações 
das atividades.
Pré-requisitos 
Para o bom acompanhamento desta aula, é necessário que você 
retome alguns conteúdos trabalhados no Ensino Fundamental 
e na disciplina Álgebra I. Como: múltiplos e divisores, números primos, 
regras de divisibilidade, algoritmo de Euclides e propriedades 
relacionadas ao MDC e MMC.
ob
jet
ivo
s
Meta da aula 
Instrumentalizar o ensino 
de múltiplos e divisores.
12AULA
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Vamos jogar sinuca?
C E D E R J30
No ensino tradicional, o trabalho com múltiplos e divisores é usualmente feito na 
5ª série do Ensino Fundamental. O enfoque dado ao assunto segue geralmente 
a seqüência: conceito de múltiplos e divisores, números primos, regras de 
divisibilidade, Mínimo Múltiplo Comum (MMC) e Máximo Divisor Comum (MDC). 
Encontramos nos livros didáticos esses tópicos, mais ou menos nessa ordem, 
sempre com problemas ao fi m, cujo objetivo é a fi xação do que foi estudado. 
Nessa perspectiva, o ensino de MDC e MMC se resume a técnicas. Os conteúdos 
não são apresentados de forma problematizada. Além disso, ao longo 
do Ensino Fundamental e Médio, o MDC não é praticamente utilizado, e o MMC 
se limita à aplicação da técnica para reduzir frações ao mesmo denominador. 
Alguns professores questionam o ensino do MDC ou o justifi cam para que mais 
tarde, na 7ª série, possam ensinar MDC com expressões algébricas.
INTRODUÇÃO
Lembre-se de acessar a disciplina na Plataforma. Lá, você encontrará diferentes 
animações e recursos que auxiliarão sua aprendizagem na aula.
!
A INVESTIGAÇÃO 
MATEMÁTICA é uma 
metodologia atual que 
vem sendo difundida 
em Portugal, na 
Universidade de 
Lisboa. Atividades 
de investigação 
são atividades nas 
quais a ênfase é 
dada a processos 
matemáticos 
como a busca de 
regularidades, 
formulação, teste, 
justifi cativa e 
demonstração de 
conjecturas. 
Algumas das 
características de uma 
situação investigativa 
são a motivação 
e o desafi o, o que 
vem provocando 
nos alunos grande 
entusiasmo pela 
Matemática.
Pense no assunto
E você, o que acha? Que signifi cado que o estudo de MDC, MMC e regras 
de divisibilidade tiveram em sua formação? Com o assunto trabalhado 
novamente na disciplina Álgebra I, que mudanças ocorreram na formação 
desses conceitos?
Nesta aula, vamos apresentar o estudo de múltiplos e divisores com base na 
INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA.
A
U
LA
 
12
 
C E D E R J 31
O MDC GEOMÉTRICO
Você deve conhecer alguns métodos para o cálculo do MDC. 
Nosso objetivo aqui é oferecer uma outra maneira de ensinar o 
MDC, com um enfoque geométrico.
Vamos descobrir o MDC entre 5 e 7 geometricamente. Para isso, 
considere um retângulo de dimensões 5x7, formado por 35 quadrados 
de área 1.
Qual o maior quadrado que podemos formar neste retângulo? 
É um quadrado cuja medida do lado é 5, observe:
Retirando esse quadrado, obtemos um retângulo de dimensões 5x2. 
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Vamos jogar sinuca?
C E D E R J32
Repetimos a mesma pergunta, agora para o retângulo de 
dimensões 5x2. 
Qual o maior quadrado que podemos formar neste retângulo? 
É um quadrado cuja medida do lado é 2.
Retirando esse quadrado, obtemos um retângulo de dimensões 3x2.
O maior quadrado que podemos formar nesse novo retângulo é 
novamente um quadrado de lado 2.
Enfi m, retirando mais uma vez o quadrado formado, encontramos 
um retângulo de dimensões 1x2. O maior quadrado que podemos formar 
nesse novo retângulo tem a medida do lado 1.
Quando retiramos esse último quadrado, temos na medida do 
lado do menor quadrado, o MDC entre 5 e 7.
A
U
LA
 
12
 
C E D E R J 33
Assim, como você sabe, o MDC entre 5 e 7 é 1.
Podemos representar esse MDC em um mesmo retângulo, onde 
os quadrados “retirados” estão destacados. Veja:
A medida do lado do menor quadrado 
obtido no processo é o MDC entre 5 e 7.
Veja outro exemplo, em que o MDC não é 1. Vamos encontrar 
por esse processo o MDC entre 4 e 6, isto é, MDC (4, 6).
O maior quadrado formado no retângulo é um quadrado 
de lado 4.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Vamos jogar sinuca?
C E D E R J34
Considerando agora o retângulo 4x2 que “sobrou” quando 
“retiramos” o quadrado de lado 4, o maior quadrado que podemos 
retirar agora tem lado de medida 2.
Agora, na medida do lado do quadrado que “sobrou”, temos 
o MDC (4, 6).
A medida do lado do menor quadrado 
obtido é 2. Assim, o MDC (6, 4) = 2.
ATIVIDADES 
1. Você sabe que o MDC (12, 18) = 6. Faça o processo geometricamente 
e confi ra:
A
U
LA
 
12
 
C E D E R J 35
2. Faça geometricamente cada MDC indicado.
MDC (2,4) MDC (2,8) MDC (4,8)
MDC (2,6) MDC (3,6) MDC (5,15)
a. O que você observa na formação dos quadrados para o processo 
do MDC? Por que isso ocorre?
 COMENTÁRIO 
O cálculo do MDC nos casos apresentados é imediato, e você, com certeza, 
o fará de cabeça. O objetivo da atividade é que você analise as formas 
geométricas formadas no processo e relacione-as com o MDC.
Atividades como essas podem 
ser desenvolvidas com alunos
para que percebam propri-
edades do cálculo do MDC, 
como a propriedade:
Sendo m, n dois números 
inteiros não-nulos, se m divide 
n, então, MDC (m, n) = m. 
Uma outra exploração de 
propriedade é com o cálculo 
do MDC (m, 1) no qual m é um 
número inteiro não-nulo. 
!
O Algoritmo de Euclides, que você estudou na Aula 5 do curso de 
Álgebra I, é um dos métodos de cálculo do MDC entre dois números inteiros 
positivos. Caso você não se lembre, volte à aula e dê uma olhadinha.
No caso, no cálculo do MDC entre 5 e 7, temos, pelo Algoritmo 
de Euclides:
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Vamos jogar sinuca?
C E D E R J36
7 = 1 x 5 + 2
5 = 2 x 2 + 1
2 = 2 x 1 + 0
O Algoritmode Euclides possui um dispositivo prático conhecido 
como jogo da velha, em que efetuamos diretamente as divisões sucessivas.
quocientes 1 2 2
 7 5 2 1
restos 2 1 0
Muitos autores utilizam a disposição dos restos colocando-os a partir do 
primeiro número a ser dividido, no nosso exemplo, o 7. O processo é o mesmo, 
apenas o tipo de visualização dos “novos” divisores é modifi cado.
 1 2 2
 7 5 2 1
 2 1 0
!
Será que há alguma relação entre o Algoritmo de Euclides e o 
MDC geométrico? Observe:
7= 1 x 5 + 2
Retângulo de dimensão 7x5
Retângulo de dimensão 5x2
5= 2 x 2 + 1
2= 2 x 1 + 0
Retângulo de dimensão 2x1
Do lado de medida 7, 
retiramos 5 unidades 
e sobraram 2 unidades. 
Do lado de medida 5, 
retiramos 2 unidades 2 vezes 
e sobrou 1 unidade.
Do lado de medida 2, 
retiramos 2 vezes 1 unidade 
e não sobrou nada.
A
U
LA
 
12
 
C E D E R J 37
O MMC GEOMÉTRICO
Da mesma maneira que fi zemos com o MDC, faremos com o MMC. 
Nosso objetivo, nesta aula, não é discutir os métodos que você conhece, 
mas apresentar uma outra maneira de apresentar esse conteúdo.
Para encontrar geometricamente o MMC entre dois números 
positivos, considere novamente o retângulo cujas dimensões são os 
números em questão.
Vamos calcular o MMC entre 4 e 6. Para isso, considere um 
retângulo 4x6 subdividido em quadrados cuja medida do lado é 1.
D C
A B
Pense nesse retângulo como uma mesa de sinuca, não como 
uma qualquer, mas como uma sinuca matemática, claro. Nessa 
sinuca matemática, os vértices (A, B, C e D) são as quatro caçapas 
da mesa. A “bola” se move sempre da mesma forma. Ela sai de uma 
das caçapas e se “movimenta” pela diagonal dos quadradinhos indicados 
no retângulo. Veja:
A B
D C
Saída da bola
A B
D C
Percurso
da bola
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Vamos jogar sinuca?
C E D E R J38
Quando essa bola chega a um dos lados dessa sinuca matemática, 
ela faz uma rotação “perfeita”, dá um giro de 900 no sentido anti-horário 
e continua seu caminho com a mesma regra.
O fato de a rotação ser no sentido anti-horário depende do vértice de onde 
sai a bola, mas a idéia é que a rotação seja feita de forma que a bola sempre 
continue no retângulo (na sinuca). 
!
Então, a bolinha roda 90º no sentido anti-horário, continua seu 
caminho e ops! Esbarra em outro lado da mesa de sinuca.
D C
A B
Novamente, a bola roda 90º no sentido anti-horário e continua. 
Esbarra mais uma vez no lado da sinuca, faz uma rotação de 90º no 
sentido anti-horário e...
D C
A B
A
U
LA
 
12
 
C E D E R J 39
Encontra a caçapa indicada pelo vértice D. Fim de jogo!
Quantos quadradinhos a bolinha percorreu saindo da caçapa 
indicada pelo vértice A até chegar à caçapa indicada pelo vértice D?
– Até encontrar a parte superior da mesa, ela percorreu 4 
quadradinhos.
– Andou por mais 2 quadradinhos e encontrou a lateral direita 
da mesa.
– Mais 2 quadradinhos e encontrou a parte inferior da mesa.
– Mais 4 quadradinhos e encontrou a caçapa indicada pelo vértice D.
Percorreu, então, um total de 4 + 2 + 2 + 4 = 12, que é o MMC 
entre 4 e 6.
O resultado do MMC geométrico independe do vértice escolhido para a 
“saída da bola”. 
!
Quer outro exemplo? Então vamos fazer o MMC entre 5 e 7. 
Para isso, partiremos de um retângulo de dimensões 5x7. 
A bola sai da caçapa indicada pelo vértice A.
D C
A B
Bate na parte superior, na lateral direita, na parte inferior e na 
lateral esquerda, mas ainda não encontra a caçapa.
D C
A B
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Vamos jogar sinuca?
C E D E R J40
Bate na parte superior, depois na inferior, na lateral direita, 
na parte superior, novamente na lateral esquerda, mas ainda não encontra 
a caçapa.
D C
A B
Por fi m, bate na parte inferior e cai na caçapa indicada pelo 
vértice C.
D C
A B
O MMC entre 5 e 7 será o número de quadradinhos que a bola 
passou. Mas, observe que a bola passou por todos os quadradinhos do 
retângulo. Assim, o MMC será a área desse retângulo, ou seja, 5x7 = 35.
A
U
LA
 
12
 
C E D E R J 41
ATIVIDADES
3. Você sabe que o MMC (12, 18) = 36. Faça o processo geometricamente 
e confi ra:
D C
A B
a. Partindo do vértice A, em qual caçapa a bola cai?
4. Faça geometricamente cada MMC indicado.
a. Em cada caso, em qual caçapa a bola cairá? Observe relações entre 
números envolvidos no MMC e caçapa na qual a bola caiu. Registre suas 
conclusões.
A B
D C
MMC (2,4)
A B
D C
MMC (3,9)
A B
D C
MMC (2,6)
A B
D C
MMC (3,6)
A B
D C
MMC (5,15)
A B
D C
MMC (2,8)
A B
D C
MMC (1,8)
A B
D C
MMC (1,7)
A B
D C
MMC (4,8)
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Vamos jogar sinuca?
C E D E R J42
 COMENTÁRIO 
O objetivo da atividade não é o cálculo do MMC. Busque observar as formas 
geométricas criadas e relacioná-las com o MMC.
A exploração do MMC geométrico possibilita explorar a álgebra e a geometria 
em conjunto através das noções de área, diagonal, rotação e simetrias. 
Além da conjectura lançada no boxe explicativo, você pode formular outras, 
por exemplo, será que quando os números são primos entre si, como 
no exemplo do 5 e do 7, a caçapa sempre cai na caçapa correspondente 
ao vértice D?
Use seus conhecimentos do curso de Álgebra I para demonstrações formais 
de suas conjecturas.
!
Você reparou que tanto no exemplo feito no cálculo do MMC geométrico 
entre 4 e 6 quanto naquele entre 12 e 18 a bola caiu na caçapa D? Por que 
isso ocorreu?
A SINUCA DE SNOOKER E A INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA
A sinuca de SNOOKER traduz a idéia de interpretar o retângulo como 
uma mesa de sinuca. Além da exploração do MMC, outra observação 
interessante é o número de batidas da bola nas laterais da mesa até 
entrar na caçapa.
No retângulo de dimensão 4x6, se incluirmos os vértices A 
(a caçapa de onde sai a bola) e D (a caçapa onde entra a bola), quantas 
batidas a bola dará no total? Observe:
Visite a página da Confederação 
Brasileira de Bilhar e Sinuca (CBBS) 
na internet e conheça 
as regras da Sinuca 
SNOOKER.
http://www.sinuca.com.br/
sinuca/cbbs/conteudo/
Regras_Ofi cial.asp
Na página ilustrada 
a seguir http:
//www.sinuca.com.br/
sinuca/cbbs/conteudo/ 
você poderá conhecer as 
jogadas básicas.
A
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12
 
C E D E R J 43
D C
A B
São 3 batidas nas laterais, mais 2 nas caçapas, totalizando 5 batidas.
E no retângulo 5x7, quantas batidas são?
Por fi m, a bola bate na parte inferior e cai na caçapa indicada 
pelo vértice B.
D C
A B
São 10 batidas nas laterais mais 2 nas caçapas, totalizando 12 batidas.
Você conseguiu perceber a relação existente entre 4 e 6 e o 
total de batidas 5? E entre 5 e 7 e o total de batidas 12? Qual a regra? 
Essa generalização não é imediata.
Agora pare um pouco a leitura da aula e investigue.
Para ajudá-lo, sugerimos que você acesse o site http://illuminations.
nctm.org/tools/tool_detail.aspx?id=28. Lá você encontra possibilidade
de modificar as dimensões do tabuleiro de sinuca. Nesse recurso, a conta-
gem do número de batidas é dado por Hits, o que acelerará sua investigação.
Na tela inicial aparecerá um retângulo de dimensão 3x5.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Vamos jogar sinuca?
C E D E R J44
Com o mouse na bolina de sinuca, você dispara a bola.
Na sinuca fi ca indicado Hit para cada batida e toda vez que a 
bola cai na caçapa. Na parte inferior da tela, há a contagem Hits: 8, 
isso signifi ca que o número de batidas é 8.
Figura 12.1: Tela inicial do jogo de sinuca.
Figura 12.2: Tela inicial do jogo de sinuca.
A
U
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12
 
C E D E R J 45
Para modifi car as dimensões da mesa, movimente os traços verticais Length 
e Width. Assim, você pode investigar todas as dimensões de mesa que quiser, 
até o máximo de 21x21, com facilidade.
Observe que, analisando o percurso da bola, essa mesa permite explorar o 
MMC geométrico também.
!
Agora, jogue sinuca, formule sua conjectura, procure validar o 
que pensou, ou seja, investigue!Já fez suas descobertas? Fez anotações? Então, vamos 
continuar!
Qual a diferença entre o que está sendo proposto a você 
agora e um problema mais “usual”? A maioria das atividades 
realizadas nas aulas de Matemática é focada em procedimentos 
e se apresenta de forma estruturada. Estas são necessárias, 
mas com uma metodologia concentrada apenas nesse tipo de 
atividade, não proporcionamos ao aluno desenvolver algumas 
atitudes importantes em relação à Matemática.
As atividades investigativas se contrapõem às tarefas 
procedimentais e estruturadas, sendo, portanto, mais “abertas”, 
favorecendo processos de descoberta e redescoberta, numa atmosfera 
de motivação e desafi o. Quanto mais experiência o aluno tem com 
atividades de investigação, mais aberta deve ser a proposta. Por exemplo, 
no problema do número de batidas da sinuca, poderíamos ter dado as 
regras e perguntar: o que você observa?
Para o desenvolvimento de uma atividade de investigação, devem estar 
aliadas as crenças do professor acerca da matemática e da educação. Essas 
idéias infl uenciam diretamente no processo de aprendizado do aluno e 
em suas concepções. É necessário que o ensino não seja embasado apenas 
em trabalhos estruturados e que o aluno tenha oportunidade de formular 
e validar questões.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Vamos jogar sinuca?
C E D E R J46
No desenvolvimento de uma atividade de investigação com alunos, 
é necessário que o professor redimensione seu papel, provocando outras 
questões. Tais intervenções são essenciais para a continuidade da tarefa.
Love (1998) afi rma que, nesse tipo de atividade, o aluno tem 
oportunidade de:
• identifi car e iniciar os seus próprios problemas;
• expressar as suas próprias idéias e desenvolvê-las ao resolver 
problemas;
• testar as suas idéias e hipóteses de acordo com experiências 
relevantes;
• defender racionalmente as suas idéias e conclusões e submeter as 
idéias dos outros à crítica ponderada.
Voltando ao problema proposto a você, vamos analisar o número 
de batidas de alguns casos nos quais os números são primos entre si, ou 
seja, quando o MDC entre os números é 1.
Dimensões da mesa Número de batidas
5x7 12
3x7 10
2x9 11
7x11 18
15x16 31
:
:
:
:
Analisando este caso, podemos CONJECTURAR que, quando os números 
são primos entre si, o número de batidas é a soma desses números.
Será que essa primeira sensação é verdadeira? Vamos analisar 
casos em que o MDC entre os números não seja 1.
CONJECTURAR
Emitir uma opinião 
sem fundamentos 
precisos.
A
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C E D E R J 47
Dimensões da mesa Número de batidas
4x6 5
10x20 3
9x12 7
14x21 5
15x18 11
:
:
:
:
Não, o número de batidas não é a soma dos números envolvidos. 
Mas existe uma relação com a soma.
Dimensões da mesa Número de batidas Soma dos números das 
dimensões da mesa
4x6 5 10
10x20 3 30
9x12 7 21
14x21 5 35
15x18 11 33
:
:
:
:
:
:
Os números da segunda coluna estão relacionados com os números 
da terceira coluna através de uma divisão.
Dimensões da mesa Número de batidas Soma dos números das 
dimensões da mesa
4x6
5 =
10
2
10
10x20
3 =
30
10
30
9x12
7 =
21
3
21
14x21
5 =
35
7
35
15x18
11 =
33
3
33
:
:
:
:
:
:
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Vamos jogar sinuca?
C E D E R J48
E o divisor em questão é o MDC entre os números das dimensões 
da mesa.
Dessa forma, podemos expressar o número de batidas por: 
m + n
mdc (m,n)
.
No livro Investigações matemáticas na sala de aula, 
dos autores João Pedro da Ponte, Joana Brocado e Hélia 
Oliveira, da Editora Autêntica, você encontrará vários 
registros de alunos a respeito desse problema.
!
MÚLTIPLOS, DIVISORES, MMC E MDC
Vimos dois processos, um para o cálculo de MDC e outro para 
MMC. Estes dão possibilidades de várias explorações e conexões com 
a Matemática. Entretanto, é importante que o professor tenha em mente 
que o trabalho com múltiplos e divisores e posteriormente com MDC e 
MMC não pode estar restrito à repetição de procedimentos. Para isso, 
é necessário que os conceitos sejam trabalhados.
Estas são algumas crenças de alunos a respeito de múltiplos e 
divisores no Ensino Fundamental e Médio:
I. 2 ÷0 = 2.
II. 0 ÷5 = 5.
III. 0 ÷0 = 1.
IV. –6 não é múltiplo de 3 porque é negativo.
V. –5 não é divisível por 1 porque é negativo.
VI. O MMC é sempre positivo.
VII. O MDC é sempre positivo.
VIII. 1 é primo.
Essas crenças estão todas erradas?
A
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12
 
C E D E R J 49
O conceito de divisibilidade envolve dois números inteiros. 
Como você viu na Aula 5, da disciplina Álgebra I:
Dados dois inteiros m e n, dizemos que m divide n se existe um 
inteiro q tal que n = qm. Nesse caso, dizemos que m é divisor de n ou 
“n é múltiplo de m”.
Assim, o conceito de divisor de um número é válido para números 
positivos e negativos. Acontece que os números positivos são trabalhados 
primeiro, e quando os alunos trabalham com números negativos, esses 
conceitos não são retomados. Isso faz com que o aluno pense como nos 
itens IV e V, uma vez que nada foi falado a ele a esse respeito.
No caso das divisões, qual o resultado de 2 ÷0?
De acordo com a defi nição dada, se 0 fosse divisor de 2, existiria 
um número inteiro q tal que 2 = 0.q. Como todo número inteiro 
multiplicado por 0 é 0, 2 ÷0 não existe. Assim, a crença que 2 ÷0 = 2 
(I) está errada.
A propriedade 0.q = 0 para qualquer número inteiro q é uma propriedade de 
anéis. Preste atenção nesse fato no estudo da estrutura de anéis.
!
O caso em que 0 ÷5 = 5 (II) também não se justifi ca. De acordo 
com o que foi visto, se 5 divide 0, existe q tal que 0 = 5.q. O único número 
inteiro que satisfaz a igualdade é q = 0, assim, o resultado de 0 ÷5 = 0.
Vamos analisar agora a crença (III): 0 ÷0 = 1. Você observou que, 
de acordo com a defi nição feita na disciplina Álgebra I, não há restrição 
inicial ao fato de o divisor ser 0?
Se o divisor é 0, ou seja n = 0, m também deverá ser 0. Nesse caso, 
o valor de q na expressão 0 = q.0 não será único. Como uma operação 
matemática tem resultado único, costuma-se excluir o caso em que o 
divisor é 0. Assim, assumimos que o divisor é n (n ≠ 0). Por isso, dizemos 
que 0 ÷0 não existe (III).
O trabalho de MDC e MMC com alunos de Ensino Fundamental 
é muito focado nas técnicas. Cabe lembrar que o MDC e o MMC são 
sempre positivos. Revise essas defi nições nas Aulas 5 e 6 da disciplina 
Álgebra I. Assim, as crenças (VI) e (VII) estão corretas.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Vamos jogar sinuca?
C E D E R J50
Para relembrar, o conjunto dos divisores positivos de um número 
é um conjunto finito. Quando falamos de MDC entre dois 
números, estamos nos remetendo ao MAIOR número que divide os dois 
números ao mesmo tempo.
Por exemplo, o MDC (6, 8) é o maior número positivo que divide 
6 e 8 ao mesmo tempo. Os divisores positivos do 6 são 1, 2, 3 e 6, 
e os divisores do 8 são 1, 2, 4, e 8. O maior número positivo que é divisor 
de 6 e 8 ao mesmo tempo é o 2. Assim, MDC (6, 8) = 2.
Como falamos antes, muitos professores são contra o estudo do MDC, 
pois afi rmam que o assunto não tem utilização nem no Ensino Fundamental, 
nem no Médio. Dizem, ainda, que os problemas que envolvem o MDC são 
artifi ciais, o que, na maioria dos casos, é verdade. Outros defendem que 
o MDC é importante no estudo das relações entre números e que o Algoritmo 
de Euclides deve ser estudado. As duas idéias devem ser respeitadas e 
questionadas por você, futuro professor de matemática.
!
No estudo do MDC, as idéias de encontrar divisores comuns e 
de que o MDC deve ser o maior deles não devem ser descartadas, e o 
ensino do tema não pode ser restrito ao procedimento, seja por fatoração, 
pelo Algoritmo de Euclides ou pelo método geométrico.
O mesmo deve ocorrer com o estudo do MMC. O conjunto dos 
múltiplos de um número inteiro é um conjunto infi nito. Quando falamos 
do MMC entre doisnúmeros inteiros positivos, nos remetemos à idéia do 
MENOR número possível que ao mesmo tempo é múltiplo desses dois 
números envolvidos.
Por exemplo, o MMC (6, 8).
M6 = {0, ± 6, ± 12, ± 18, ± 24, ± 30, ± 36, ± 42, ± 48, ± 54, ...}
M8 = {0, ± 8, ± 16, ± 24, ± 32, ± 40, ± 48, ± 56, ...} 
Os múltiplos comuns a 6 e a 8 são 0, ± 24, ± 48, ...
M6∩M8 = {0, ± 24, ± 48, ...}.
Assim, o MMC (6, 8) é o menor número positivo desse conjunto, 
ou seja, 24.
Agora, só falta analisar a afi rmação VIII. Para isso, vamos recordar 
o que é um número primo. Um número é dito primo quando tem 
exatamente dois divisores diferentes. Caso tenha mais de dois divisores 
diferentes, é chamado composto. De acordo com o que foi dito, o número 
1 não é primo, tampouco composto.
A
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12
 
C E D E R J 51
ATIVIDADES 
5. Observe a situação-problema:
A Confederação Internacional dos Jogadores de Bolinhas de Gude realiza 
um torneio a cada cinco anos. O primeiro ocorreu em 1987, o segundo, 
em 1992 e assim por diante.
a. Os números 1988, 1993, 1998 e 2003 são múltiplos de 5?
b. Os números 1988, 1993, 1998 e 2003 são múltiplos de 5 somados com 3?
c. Se o campeonato continuar a ser realizado a cada cinco anos, haverá 
torneiro em 2068?
d. Além dos múltiplos de 5, o que está sendo abordado no problema?
6. Considere o problema a seguir.
a. Se um número inteiro é múltiplo de 3, o mesmo acontece com o seu 
quadrado? E com a sua décima potência?
b. Escreva uma forma de explorar esse problema com alunos de 5ª ou 6ª série.
c. Escreva agora uma forma de explorar o problema, com alunos de 7ª 
ou 8ª série.
 COMENTÁRIO 
Um modo de você pensar na diferença da exploração possível em cada 
item é ter em mente que, com alunos de 5ª ou 6ª série, devemos buscar 
generalizações, mas a manipulação dos símbolos algébricos ainda não é o 
foco principal, ao passo que, com alunos de 7ª ou 8ª série, o professor deve ter 
dentre seus objetivos exatamente a manipulação de símbolos algébricos.
O trabalho com múltiplos 
não deve ficar restrito à 
exploração imediata do con-
ceito e às regras de divisi-
bi l idade. Algumas s itu-
ações-problema que explo-
ram seqüências de múltiplos 
somados com um número, ou 
seja, seqüências de números 
que deixam o mesmo resto 
na divisão por um número 
inteiro não-nulo, no caso 3, 
devem ser trabalhadas com 
alunos. 
!
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Vamos jogar sinuca?
C E D E R J52
7. Considere os problemas a seguir.
Em uma estrada de 360km, de um lado há postes de 12 em 12 quilômetros 
a partir do quilômetro zero e do outro há árvores de 18 em 18 quilômetros, 
também a partir do quilômetro zero.
a. De quantos em quantos quilômetros haverá um poste de frente para 
uma árvore?
Tenho 18 livros de Matemática e 12 livros de Português. Quero arrumar 
esses livros em prateleiras só com livros de Matemática ou só com livros 
de Português, de maneira que, em cada prateleira, eu tenha o maior 
número possível de livros.
b. Quantos livros colocarei em cada prateleira?
c. Quantas prateleiras usarei? 
d. Esses problemas são usualmente apresentados em livros como 
problemas envolvendo MDC e problemas envolvendo MDC. Você acha 
necessário o estudo do MDC e do MMC para resolver esses problemas? 
Você acha interessante trabalhar esses problemas com alunos? Registre 
suas observações e discuta com seu tutor.
Ser professor exige um olhar atento sobre o que é trabalhado e a maneira 
como esse trabalho é feito. Procure sempre refl etir sobre o que você está 
ensinando! 
!
A
U
LA
 
12
 
C E D E R J 53
COMPREENDENDO REGRAS DE DIVISIBILIDADE
O que são regras de divisibilidade? O número 12.345.678 é 
divisível por 2? O número 789.567 é divisível por 5? E o número 
345.687.390 é divisível por 10? Você rapidamente deve ter respondido 
que 12.345.678 é divisível por 2, que 789.567 não é divisível por 5 
e que 345.687.390 é divisível por 10 sem ter feito nenhum cálculo. 
Você provavelmente pensou que 2.345.678 é par, que 789.567 não termina 
em 0, nem em 5, e que 345.687.390 termina em 0. Por meio das chamadas 
regras de divisibilidade, podemos saber se um número é divisível ou não 
por outro sem efetuar a divisão entre respectivos números.
As regras de divisibilidade são geralmente dadas aos alunos sem 
que haja uma exploração dos porquês. As regras de divisibilidade mais 
úteis aos alunos são as de 2, 3, 5, 6, 9 e 10.
As regras de divisibilidade dos números 2, 5 e 10 são facilmente 
percebidas pelos alunos por meio da análise dos padrões formados pelos 
respectivos múltiplos, representados em uma tabela.
A regra do 6, após o aluno saber as regras de divisibilidade por 2 
e por 3, pode ser facilmente percebida também, pois 6 = 3x2, e a regra 
de divisibilidade por 6 envolve uma conjunção, ou simultaneidade, 
já que o número pode ser divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.
As regras de divisibilidade por 3 e por 9 são mais artifi ciais se 
forem apenas dadas sem justifi cativa. Vale lembrar que:
Se um número é divisível por 3, então a soma de seus algarismos 
é divisível por 3, e, se um número é divisível por 9, então a soma dos 
seus algarismos é divisível por 9.
A difi culdade de justifi car algebricamente essa regra está na 
generalização da escrita do número na base 10, pois, nesse caso, teríamos de 
supor um número de n algarismos, e a escrita fi ca difícil para alunos 
de 5ª ou 6ª séries.
Podemos, então, justifi car essas regras aos alunos supondo um 
número de três ou quatro algarismos. Por exemplo, para saber qual a 
condição necessária para que um número seja divisível por 3, supondo 
um número de quatro dígitos (ABCD), vamos recorrer à sua escrita no 
sistema de numeração decimal.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Vamos jogar sinuca?
C E D E R J54
A escrita de (ABCD) entre parênteses foi utilizada para reforçar que A, B, C e D 
são algarismos e diferenciá-la da escrita de multiplicação de quatro números.
(ABCD) = 1000A + 100B + 10 C + D
Mas,
1000A = 999A + A
100B = 99B + B
10C = 9C + C
Assim, (ABCD) = 999A + A + 99B + B + 9C + C + D.
Reorganizando as parcelas, temos:
(ABCD) = 999A + 99B + 9C + A + B + C + D.
Como 999A + 99B + 9C é divisível por 3, se A + B + C + D também for, 
o número (ABCD) também será. A regra da divisibilidade por 9 pode ser 
justifi cada da mesma maneira.
Se houver difi culdade dos alunos em relação à regra com “letras”, 
o professor pode trabalhar o raciocínio com exemplos, explorando o que 
ocorre de diferente com a soma dos algarismos, os números, no caso de 
serem ou não divisíveis por 3 ou por 9.
ATIVIDADE 
8. Um número natural formado por três algarismos iguais é sempre múltiplo 
de 37? Por quê?
 COMENTÁRIO 
Você pode realizar divisões por números ou pensar dedutivamente, 
orientando-se pelo boxe explicativo anterior.
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C E D E R J 55
ATIVIDADE FINAL
Crivo de Eratóstenes
Na tabela, risque o número 2 e todos os seus múltiplos com lápis de uma 
determinada cor.
Depois, risque o 3 e todos os seus múltiplos com lápis de outra cor.
E assim, sucessivamente, para o 4, o 5, o 6, o 7 até o 99.
a. Que números têm apenas um risco? O que eles têm em comum?
b. Observe a cor com que você riscou o número 6 e seus múltiplos e a que você 
utilizou para riscar o número 8 e seus múltiplos. Que números têm riscos nestas duas 
cores ao mesmo tempo? Com base em sua resposta, qual é o MMC entre 6 e 8?
c. Observe os riscos que você fez nos múltiplos de 2 e nos múltiplos de 4. Existem 
números que têm o risco da cor do 2 e não têm da cor do 4? Existem números que 
têm riscos na cor do 4 e não têm na cor do 2? O que você pode concluir?
d. O número 1 não foi pintado. O que isso signifi ca?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 8788 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Vamos jogar sinuca?
C E D E R J56
 COMENTÁRIO 
Esta atividade é um exemplo para ser aplicado com alunos no trabalho com 
múltiplos e divisores e com números primos. Não deve haver difi culdades 
em fazê-la, o importante é que você refl ita sobre o que lhe está sendo pedido 
nos itens e em como a atividade favorece a concretização de algumas 
propriedades. A mesma atividade pode ser utilizada para reconhecer os 
divisores de um número. 
CONCLUSÃO
Quando falamos das atividades investigativas, vale destacar um 
importante aspecto do ensino da Matemática: aliar uma metodologia 
consistente ao conhecimento do professor.
A divisão por zero, por exemplo, deve ser analisada pelo professor 
por meio de suas próprias difi culdades e da maneira como as esclareceu. 
Isso pode gerar excelentes contextos para o trabalho de sala de aula.
Além das atividades de investigação, para o trabalho com 
múltiplos e divisores, o professor dispõe de excelentes problemas 
e jogos. Muitos estão presentes nos livros didáticos e outros podem ser 
criados pelo próprio professor.
R E S U M O
A exploração do MDC e do MMC geométricos são exemplos de processos para 
o cálculo dos mesmos que podem ser usados em sala de aula. Os dois consideram 
inicialmente um retângulo onde os quadrados de 1 unidade de área estão 
destacados, formando uma malha.
No processo do MDC, a idéia é a retirada dos maiores quadrados formados. 
Nesse processo, a medida do lado do menor quadrado é o MDC entre os números 
que são as medidas dos lados do retângulo inicial. No MMC, trabalhamos com 
a idéia de mesa de sinuca. A “bola” parte de um dos vértices e faz “tabelas” até 
chegar a outro vértice. O número de quadradinhos que percorreu é o MMC entre 
os números que compõem as dimensões do retângulo.
Na sinuca de Snooker, além de manipular novamente o MMC geométrico usando 
a internet, exploramos o “número de batidas”. Encontramos uma relação entre os 
números da medida dos lados do retângulo e o MDC.
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LA
 
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C E D E R J 57
AUTO-AVALIAÇÃO
Os MDC e MMC geométricos foram duas maneiras apresentadas para abordar os 
processos de cálculo dos mesmos, em que exploramos algumas regularidades 
também. Verifique se você atingiu essa perspectiva nas Atividades 2 e 4. 
Na sinuca de Snooker, você utilizou a tecnologia no ensino da matemática, 
não como uma atividade à parte, mas inserida em um processo de investigação 
que foi exposto a você no decorrer do tópico. Questionamos, também, aspectos 
do ensino de múltiplos e divisores, regras de divisibilidade focalizando 
as dificuldades encontradas por alunos nesse estudo. Na Atividade Final, 
além de identifi car esses aspectos, uma boa avaliação é pensar em outras questões 
que esse contexto permite explorar.
INFORMAÇÕES SOBRE A PRÓXIMA AULA
Na próxima aula prepare-se para jogar com números.
Algumas questões sobre o ensino de múltiplos e divisores foram enfatizadas, 
como a divisão por zero e as restrições dadas aos cálculos do MDC e do MMC. 
Os critérios de divisibilidade foram resgatados onde exploramos, em particular, 
as justifi cativas dos critérios da divisibilidade por 3, em que a soma dos algarismos 
do número deve ser divisível por 3 e por 9, e em que a soma dos algarismos do 
número deve ser divisível por 9.
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Vamos jogar sinuca?
C E D E R J58
RESPOSTAS
Atividade 1
Menor quadrado formado tem 
medida do lado 6
Atividade 2
Faça geometricamente cada MDC indicado.
MDC (2,4)=2 MDC (2,8)=2 MDC (4,8)=4
MDC (2,6)=2 MDC (3,6)=3 MDC (5,15)=5
a. Em cada um dos casos do processo do MDC geométrico, todos os quadrados (tanto 
os “retirados” quanto o último) são congruentes. Isso ocorre porque os números 
envolvidos no MDC são múltiplos. Quando pensamos no maior quadrado possível, 
a medida do lado desse quadrado será o menor número envolvido no processo.
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C E D E R J 59
Atividade 3
A B
D C
a. A bola cai na caçapa D, percorrendo um total de 36 quadradinhos.
Atividade 4
A B
D C
MMC (2,4)=4
A B
D C
MMC (3,9)=9 A B
D C
MMC (4,8)=8
A B
D C
MMC (1,8)=8
A B
D C
MMC (3,6)=6
B
C
A B
D C
MMC (5,15)=15
A B
D C
MMC (2,6)=6
A B
D C
MMC (2,8)=8
A B
D C
MMC (1,7)=7
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Vamos jogar sinuca?
C E D E R J60
a. Observe que, em alguns casos, a bola cai na caçapa C e, em outros, na B, 
mas em todos os casos os números envolvidos são múltiplos. No MMC entre 3 e 9, 2 e 6, 5 
e 15 e 1 e 7, a bola caiu na caçapa indicada pelo vértice C. Já no MMC entre 2 e 4, 4 e 
8, 3 e 6, 2 e 8 e 1 e 8, a bola cai na caçapa indicada pelo vértice B. Uma possibilidade 
de generalização é a seguinte:
Sejam m e n dois números inteiros positivos tais que m divide n. Se m ÷n é ímpar, 
então a bola cai na caçapa indicada pelo vértice C, entretanto, se m ÷n é par, a bola 
cai na caçapa indicada pelo vértice B.
Busque justifi car seu argumento.
Atividade 5
A resposta encontra-se no boxe de atenção.
Atividade 6
a. Esta questão não tem resposta fechada. Muitas questões devem ser levadas em 
consideração pelo professor quando aborda uma situação-problema com alunos. 
Veja, a seguir, uma forma de abordá-la, mas procure pensar em outras e discuta 
com seu tutor.
b. Uma possibilidade de manipulação é usar uma tabela, onde exploramos as 
potências dos números múltiplos de 3, em alguns casos concretos, trabalhando com 
a escrita de múltiplos de 3 em forma de produto e com a propriedade de potenciação 
(a.b)n = an.bn. Através da investigação, o aluno pode buscar uma argumentação.
Número divisível por 3 Elevado à 2ª potência Elevado à 3ª potência ... Elevado à 10ª potência
0=0x3 (0x3)2 = 02.32 (0x3)3 = 03.33 ... (0x3)10 = 010.310 
3=1x3 (1x3)2 = 12.32 (1x3)3 = 13.33 ... (1x3)10 = 110.310
6=2x3 (2x3)2 = 22.32 (2x3)3 = 23.33 ... (2x3)10 = 210.310
9=3x3 (3x3)2 = 32.32 (3x3)3 = 33.33 ... (3x3)10 = 310.310
12=4x3 (4x3)2 = 42.32 (4x3)3 = 43.33 ... (4x3)10 = 410.310
15=5x3 (5x3)2 = 52.32 (5x3)3 = 53.33 ... (5x3)10 = 510.310
18=6x3 (6x3)2 = 62.32 (6x3)3 = 63.33 ... (6x3)10 = 610.310
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33=11x3 (11x3)2 = 112.32 (11x3)3 = 113.33 ... (11x3)10 = 1110.310
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A partir da análise da tabela, o aluno pode concluir que sempre haverá pelo 
menos um fator 3 na escrita do número em forma de potência, logo, nos dois 
casos, elevando-se um número ao quadrado ou à décima potência, o número será 
divisível por 3.
c. A partir da 7ª série, o professor pode desenvolver com seus alunos raciocínios como 
o apresentado na tabela, a diferença pode ser apenas no tipo de argumentação 
dos alunos. Pode-se buscar argumentações que considerem a escrita algébrica. 
Por exemplo: se um número n é divisível por 3, podemos escrevê-lo como n = 
3m. Neste caso, n2 = 32m2 apresenta um fator 3 na expressão (precisamente dois 
fatores 3), sendo assim, divisível por 3. A décima potência também apresenta um 
fator 3 na expressão (precisamente dez fatores 3), sendo também divisível por 3. 
Observe: n10 = 310m10.
Atividade 8
Sim, todos os números naturais de três algarismos iguais são múltiplos de 37. 
Para justifi car, você pode efetuar a divisão por 37 dos números 111, 222, 333, 444, 
555, 666, 777, 888 e 999, ou pode optar por um raciocínio dedutivo.
Nesse caso, podemos escrever um número da forma AAA como 100A + 10A + A, 
mas 100A = 37A + 37A + 26A, assim, o número (AAA) = 37A + 37A + 26A + 10A 
+A = 37A + 37A + 37A = 3x37A. Logo, o número (AAA) é divisível por 37. 
Atividade Final
a. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 
83, 89, 93, 97. Todos possuem apenas dois divisores, 1 e ele mesmo, ou seja, são 
números primos.
b. 24, 48, 72 e 96. É o 24.
c. Sim, o 6 por exemplo. Não. Todo múltiplo de 4 é múltiplo de 2, mas nem todo 
múltiplode 2 é múltiplo de 4.
d. Ele não é primo nem composto.
Jogos com números
Ao fi nal desta aula, você deverá ser capaz de:
• Utilizar jogos com números em sala de aula.
• Diferenciar os tipos de jogos.
• Produzir novos jogos a partir das sugestões aqui apresentadas.
Pré-requisitos 
 Para acompanhar esta aula, você deve conhecer os números 
reais e as operações básicas. Além disso, você deve estar 
com um espírito questionador, investigativo e curioso. 
Estas são características importantes em um professor de Matemática.
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Meta da aula 
Instrumentalizar o ensino de jogos.
13AULA
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Jogos com números
C E D E R J64
Esta aula inaugura a primeira das três Aulas (13, 21 e 23) que teremos 
especifi camente sobre o uso de jogos no ensino de Matemática dos Ensinos 
Fundamental e Médio. Além disso, você encontrará sugestões de outras atividades 
lúdicas em outras aulas no seu laboratório de Álgebra e Aritmética. 
Desde tempos remotos, o jogo tem sido usado pela humanidade para divertir, 
desafi ar, elaborar estratégias. No caso do uso didático dos jogos, o professor 
precisa aguçar sua sensibilidade para saber o melhor momento e a forma como 
deve utilizá-los.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais de 5ª a 8ª série apontam o uso de jogos 
como um dos modos de fazer matemática em sala de aula.
Nesta aula, exploraremos, além de jogos com números, também os desafi os 
numéricos. A maioria desses jogos explora números e operações, em particular os 
números naturais. Apresentaremos algumas versões envolvendo números reais. 
O professor, todavia, poderá produzir variações desses jogos com números 
reais. Os jogos podem ser em grupo ou individuais. Os jogos individuais 
desenvolvem a concentração dos alunos, ao passo que os jogos em grupo 
levam o aluno a descentralizar, prever ou antecipar ações, levantar hipóteses, 
lidar com critérios e construir esquemas.
Um outro aspecto relevante no uso de jogos em sala de aula é que o professor 
deve deixar um tempo para o que chamamos jogo livre. Além disso, um passo 
importante é o registro do jogo; isso ajuda o aluno a se afastar do “concreto”, 
utilizando progressivamente a linguagem e o raciocínio.
INTRODUÇÃO
Ao apresentar um material pedagógico ou jogo para o aluno, 
é sempre interessante deixar que ele mexa no material, faça o 
que achar interessante. Brinque sem nenhum compromisso di-
dático. Chamamos este momento de jogo livre. Quando isso não é 
feito, e o professor expõe a atividade direcionada no momento inicial, 
percebe-se que os alunos usam um tempo para essa familiarização, 
deixando de se concentrar na atividade solicitada, o que pode causar 
um desgaste inicial e decepção por parte do professor, acreditando 
que a proposta não seja interessante. 
Fique atento, pois existem jogos para diferentes fi nalidades, ou seja, há aqueles 
que constroem conceitos, outros servem para o aluno se familiarizar com a 
nomenclatura e os termos matemáticos e, por último, há jogos que exploram 
a fi xação e reprodução do conteúdo.
Veja, a seguir, um mapa conceitual que resume as principais idéias sobre o 
uso de jogos.
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Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Jogos com números
C E D E R J66
DESAFIOS NUMÉRICOS
Os desafi os são apropriados para qualquer série. Como envolvem 
números naturais, são bastante oportunos ao serem usados no 3º ciclo 
(5ª e 6ª séries). Temos certeza de que você vai gostar de resolvê-los! 
ATIVIDADES A
1. TRINTA
Expresse o número 30, usando três algarismos iguais.
______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
COMENTÁRIO
Utilize, além dos três números iguais, operações matemáticas.
2. O CERTINHO
Um número é formado por dois algarismos cuja soma é 12. Se a esse número 
acrescentarmos 18, obteremos outro número formado pelos mesmos 
algarismos, mas invertidos. Qual é o número inicial?
______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
COMENTÁRIO
Um caminho é procurar encontrar a solução por tentativa e erro. Para chegar 
mais rápido à resposta é importante registrar e analisar as tentativas.
3. A MULTIPLICAÇÃO
Você sabe que fi guras iguais correspondem a algarismos iguais. Substitua as 
fi guras por algarismos.
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COMENTÁRIO
Não deixe de registrar suas tentativas; lembre-se de que só podemos ter 
algarismos nos lugares dos símbolos, (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9). Este é um 
desafi o que envolve números, operações e pensamento algébrico.
Os desafi os propostos nas Atividades 1, 2, 3 e 4 foram retirados do 
livro Jogos matemáticos, das professoras Tânia Rocha e Heloísa Borges, 
da Editora Brasil. Nesse livro, você poderá encontrar outros desafi os 
interessantes para fazer com seus alunos.
JOGO DA MEMÓRIA
Este jogo é de confecção simples e apropriado para fi xar conteúdos 
e conceitos previamente trabalhados. A quantidade de peças fi ca a critério 
do professor. Não deve ter uma quantidade muito pequena de peças, 
pois isso pode tornar o jogo rápido demais e desinteressante. Porém, 
não deve ter uma quantidade excessiva de peças, a ponto de torná-lo 
cansativo e difícil. É importante adequar esses fatores às habilidades dos 
alunos envolvidos. O número médio de peças para compor um jogo da 
memória deve estar entre 20 e 30. Tradicionalmente, trabalha-se com 
um número par de peças, por ser o objetivo encontrar pares iguais. Na 
utilização como jogo didático, é interessante que as peças trabalhem 
com “objetos” que estejam de alguma forma relacionados ou sejam 
equivalentes. Uma possível variação do jogo é trabalhar com trios de 
peças equivalentes.
4. QUATRO QUATROS
Usando quatro algarismos 4, escreva todos os números de 0 a 10.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
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COMENTÁRIO
Mais uma vez, além dos algarismos 4, você deve utilizar as operações. 
Há mais de uma resposta para cada número. 
Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Jogos com números
C E D E R J68
ATIVIDADE 
A seguir, apresentamos um exemplo de jogo da memória que 
apresenta a tabuada de 8 relacionada com outras operações. 
Você encontrará as peças no Módulo Prático, e deverá recortá-las 
e colar num papel de maior resistência (cartolina, papel-cartão, papelão 
ou E.V.A), para tornar mais fácil a manipulação. As peças devem ser 
arrumadas com a parte escrita virada para baixo. Cada jogador (2 ou 3), 
quando começar a jogar, deverá virar 3 peças e, se as três possuírem o 
mesmo valor, ele retirará as três peças para ele. O jogo continua assim, até 
acabarem todas as peças. Ganha quem retirar o maior número de peças. 
5. Idealize e confeccione um jogo da memória com 20 ou mais peças, 
utilizando os números e operações.
COMENTÁRIO
Utilize