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Geometria Analítica e Álgebra Linear Vetores: Viés Geométrico Material Teórico Responsável pelo Conteúdo: Prof. Me. João Dimas Saraiva dos Santos Revisão Técnica: Profa. Me. Adriana Domingues Freitas Revisão Textual: Profa. Me. Luciene Oliveira da Costa Santos 5 • Introdução • Casos Particulares de Vetores • Operações com vetores Atenção especial deve ser dada às atividades propostas, bem como às datas de entrega das mesmas. Não deixe de interagir conosco através do nosso Fórum de Discussões e tire o máximo proveito dessa troca de ideias. Em caso de dúvida, entre em contato com o tutor. Daremos início nesta unidade ao estudo de vetores. Neste primeiro momento, trataremos deste estudo sob o viés geométrico, momento em que se aproveita o ensejo para a abordagem intuitiva, estudo das particularidades, aplicações e formas de representação desses segmentos orientados, conhecidos como vetores. A seguir, conceituaremos vetor, estudaremos os casos particulares e sua adição e subtração com ênfase às respectivas propriedades válidas para tais operações. Na etapa seguinte, faremos o estudo da multiplicação de um número real por um vetor, conceituaremos vetor unitário e versor e finalizaremos a unidade com o estudo do ângulo de dois vetores. Vetores: Viés Geométrico • Ângulo de dois vetores 6 Unidade: Vetores - viés geométrico Contextualização Gostaria que você tomasse um tempo para analisar a situação-problema a seguir: Um médico recomendou a um de seus pacientes, idoso, mas com boa saúde, que caminhasse 4,5 km por dia. Nosso personagem, viúvo, mora com um dos filhos, o qual, pela manhã, ao sair para o trabalho, dá uma carona para o pai, deixando-o na casa de outro familiar. Os deslocamentos retilíneos realizados de carro se dão da seguinte forma: desloca-se da casa até uma praça, distante 5 km no sentido norte; depois, desloca-se 3 km até chegar num grande Shopping Center, que está a leste da praça; por fim, desloca-se 9 km para o sul, chegando então à casa do familiar. No final da tarde, o idoso deve retornar para casa a pé. Calma! O senhor em questão não deverá retornar pelo mesmo caminho feito pelo carro. Isso seria coisa para esportista. Afinal, ele teria que andar 17 km (9 km + 3 km + 5 km). Determine o vetor deslocamento do idoso. (Obtém-se o vetor deslocamento, pelo segmento orientado, cuja origem é no ponto de partida (casa do idoso) e a extremidade é na casa do familiar do idoso.). Nosso personagem conseguirá atingir a meta diária estabelecida pelo médico? Solução: Temos que, em primeiro lugar desenhar o trajeto realizado pelo carro. É importante ter em mente a localização dos quatro pontos cardeais que são: Norte, Sul, Leste e Oeste. Analise a Figura a seguir. A partir dessas informações, podemos construir o desenho representativo da situação-problema acima. Em benefício da objetividade, identificaremos com os pontos A, B, C e D o trajeto do carro a partir da casa do idoso até a casa do familiar. Então, teremos o seguinte trajeto, o qual é apresentado na malha quadriculada abaixo. O veículo sai de A (casa do idoso), vai em direção ao norte, chegando em B (praça), vai para a direita, em direção ao leste, até chegar em C (Shopping Center) e, por fim, desce em direção ao sul até chegar à casa do parente do idoso. 7 À direita, em destaque, o triângulo retângulo AED, ampliado, cujos catetos são 3 km e 4 km. Note que chegamos a esses valores do seguinte modo: 3 km, cateto pontilhado, vetor AE tem a mesma medida de BC ; 4 km foi obtido da diferença (9 km – 5 km = 4 km). Aplicando o Teorema de Pitágoras, que diz (hipotenusa)2 = (cateto)2 + (cateto)2. Lembrando que a hipotenusa de um triângulo retângulo é sempre o lado oposto ao ângulo de 90o (ângulo reto). Logo, teremos: d2 = 32 + 42 ⇒ d2 = 9 + 16 ⇒ d2 = 25 ⇒ d = 25 ⇒ d = 5. Logo, para fazer o caminho de volta para casa, o idoso caminhará 5 km, mas no sentido oposto ao do vetor deslocamento. Observe que não estamos mencionando apenas a distância entre dois pontos. Se pensarmos apenas em distância entre dois pontos, estaremos abordando grandezas escalares, que se caracterizam por apenas um número. Na nossa situação-problema, é importante observar que, além do número (distância), temos associado a ele, uma direção e um sentido, o que são características das grandezas vetoriais. É importante refletir sobre a importância do vetor, que é usado por cientistas para indicar quantidades, tais como deslocamento. Foi o nosso caso, velocidade ou força, por exemplo, que têm ao mesmo tempo grandeza, direção e sentido. O vetor deslocamento resultante, no nosso caso, pode ser denotado por v = AD . Tem ponto inicial ou origem em A e um ponto terminal ou extremidade em D. Podemos concluir que, se a recomendação médica era de uma caminhada de 4,5 km, o idoso caminhará diariamente 0,5 km a mais do que foi estabelecido pelo médico. Trocando Ideias Você pode estar se perguntando por que o motorista do carro não seguiu a rota do vetor deslocamento. Aqui, pode-se pensar que haveria alguma barreira natural que o impedisse de fazer tal percurso. Pode-se também pensar que fosse uma contramão etc. Use sua imaginação! 8 Unidade: Vetores - viés geométrico Introdução Atenção Atenção Tenha sempre consigo os seguintes materiais necessários às nossas aulas: • Régua (de preferência transparente) • Transferidor de graus (de preferência ao modelo de 180o por ser de mais fácil manuseio) • Papel quadriculado • Compasso (opcional) Thinkstock/Getty Images Para descrevermos em plenitude o movimento de uma embarcação, é essencial que estejam claros sua velocidade, a direção e o sentido do movimento em cada instante. A velocidade, a direção e o sentido do movimento, reunidos, descrevem uma quantidade vetorial. Nosso trabalho com vetores primeiramente se dará, sob o viés geométrico. Isso implica que, num primeiro momento, utilizaremos a intuição para, na sequência, fazermos a confirmação de que o que intuímos está correto. Isso se dá por meio da abordagem algébrica, a qual traz formalidade, precisão e rigor aos métodos geométricos/ intuitivos anteriormente utilizados. A conclusão é a de que devemos aliar inteligência e intuição para a construção do conhecimento sobre Geometria Analítica. Temos dois tipos de grandezas, as escalares que são descritas por um número e sua respectiva unidade correspondente: 12 m de largura, 2 kg de massa, 70 cm2 de área, por exemplo. Já as grandezas vetoriais, caracterizam-se pela intensidade (ou módulo), a direção e o sentido, que é o caso da velocidade, ou da força, por exemplo. Lembre-se de que, no item Contextualização, lidamos com grandezas vetoriais, pois nelas estavam presentes, além das distâncias percorridas (quilômetros), uma direção e um sentido. Para Pensar Qual diferença entre direção e sentido? Ao longo do texto, você terá a resposta a essa questão. É importante que esteja claro para você que direção e sentido não têm o mesmo significado. 9 Na Figura 1.1 (a), a flecha que sobe descreve claramente uma força de 9 N na direção que forma 45 graus com o eixo horizontal. Figura 1.1 (a) Força de 9 N Figura 1.1 (b) Flechas de mesmo comprimento, direção e sentido A sigla N (Newton), no SI (Sistema Internacional de Unidades), é a unidade de medida de força padrão, a qual se refere ao nome de seu criador, Sir Isaac Newton. Ideias-chave Força tem uma definição intuitiva, associada a um agente capaz de modificar o estado de movimento ou repouso de um corpo. Voltando à diferença entre direção e sentido, o que muitos tendem a considerar como sendo iguais, vamos analisar uma situação que ilustra de modo claro a diferença entre eles. Figura 1.2 Observe que, na Figura ao lado, os objetos 1 e 2 partem da mesma origem O rumo aos pontos A e B, respectivamente. Dizemos que 1 e 2 deslocam-se na mesma direção, mas em sentidos opostos. A direção é umaqualidade comum das retas paralelas. Como os objetos 1 e 2 estão sobre uma mesma reta, assim podemos observar na Figura que uma reta é sempre paralela a ela mesma. Concluímos que o deslocamento de 1, da origem O ao ponto A, gera a representação vetorial OA . Já o deslocamento do objeto 2, gera a representação OB , isto é, um vetor com origem em O e extremidade em B. Observe que OA e OB apresentam a mesma direção, no entanto, os sentidos são contrários. Observem que os vetores indicados na Figura 1.1 (b) descrevem a mesma grandeza vetorial, ou seja, as duas flechas têm o mesmo comprimento, mesma direção (são paralelas) e mesmo sentido e, portanto, são iguais. Isto nos leva ao conceito de vetor livre, isto é, cada ponto do espaço pode ser considerado como origem de um segmento orientado, que é representante do vetor AB , Figura 1.1 (b). O vetor ' 'A B (Figura 1.1(b)) tem o mesmo comprimento do vetor AB , o que fortalece a ideia de que um representante de AB pode ter sua origem em qualquer ponto P do espaço. 10 Unidade: Vetores - viés geométrico Observe que o módulo, a direção e o sentido de um vetor AB são o módulo, a direção e o sentido de qualquer um dos seus representantes. Indicamos módulo de AB por | AB |ou || AB || . Para facilitar a comunicação, podemos chamar o vetor AB de v , assim teremos v = AB , que também pode ser escrito B – A. A Figura 1.3 ilustra alguns vetores representantes do vetor v = AB , todos eles retratando o vetor v por terem o mesmo comprimento, mesma direção (são paralelos) e mesmo sentido. O que os distingue, é o fato de terem suas origens dispostas em diferentes pontos do espaço, o que condiz com o que discutimos anteriormente: o vetor livre. Figura 1.3 Observação: Todos os vetores desenhados ao lado são paralelos. O símbolo utilizado para representar o paralelismo entre vetores é //. Podemos escrever, por exemplo, sabendo que dois vetores u e v , são paralelos, utilizando a simbologia: u // v . Para Pensar Ao longo da leitura do texto, você se deparou com a informação de que comprimento é sinônimo de módulo. Você se questionou sobre o conceito de módulo? Para ajudá-lo (a) na concretização desse conceito, abaixo há a representação de um vetor (Figura 1.4 (a) e (b)), a partir de seus pontos, inicial e extremidade, e o cálculo do tamanho (módulo) do mesmo. Situação-Problema Dado um vetor v = AB , determine | v |, sabendo que o ponto inicial do vetor é em A (2, 3) e a extremidade é em B(-1, 2). Solução: Primeiramente, devemos representar graficamente o vetor v , no plano cartesiano x0y, conforme a Figura 1.4 (a). Note também que a partir dessa Figura, obtemos um triângulo ABC. Esse triângulo está representado separadamente, com as dimensões ampliadas, na Figura 1.4 (b). A hipotenusa desse triângulo representa exatamente a módulo ou comprimento do vetor v . 11 Note que o ponto A tem representação A(xA, yA) = A(2, 3), o ponto B tem representação B(xB, yB) = B(-1, 2) e, o ponto C, tem representação C(xC, yC). As coordenadas do ponto C, apesar de não serem fornecidas, podem ser facilmente obtidas a partir da representação geométrica abaixo. Logo, C(xC, yC) = C(2, 2). Figura 1.4 (a) Figura 1.4 (b) Observe que, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ACB, teremos: Uma das maiores descobertas da Matemática é certamente o Teorema de Pitágoras. Esse teorema expõe uma relação importante presente em todos os triângulos retângulos. Lembrando que triângulo retângulo é todo aquele que apresenta um ângulo reto, ou seja, de medida 90o. O triângulo retângulo caracteriza-se pela presença de dois catetos e uma hipotenusa, que é sempre o lado de maior medida, a qual está sempre oposta ao ângulo de 90o. No triângulo desenhado ao lado, temos os catetos b e c, e a hipotenusa a. O teorema afirma: a soma das medidas dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa. a2 = b2 + c2 Explore Que tal, a partir de uma breve pesquisa, descobrir como Pitágoras chegou a tal teorema? Você pode acessar a internet e lá encontrará muitas informações sobre esse filósofo e matemático grego, nascido em Samos. No Site Só Matemática, você encontrará muitas informações úteis sobre Pitágoras e seu famoso teorema: www.somatematica.com.br 12 Unidade: Vetores - viés geométrico Vamos agora aplicar o Teorema de Pitágoras para calcular o módulo do vetor | v |, fornecido na Figura 1.4(b): (| v |)2 = (xC - xB)2 + (yC - yA)2 ⇒ | v | = ( ) ( )2 2 C B C Bx x y y− + − = ( ) ( ) 2 22 1 2 3 − − + − = ( )223 1+ − = 9 1 + = 10 . Note que o comprimento do vetor ou módulo do vetor é 10 , que vale aproximadamente 3,16. Como 10 é um número irracional, devemos escrevê-lo com o radical e não sua representação aproximada 3,16. Para Pensar Escrever (xC - xB) 2 + (yC - yA) 2 é equivalente a escrever (xB - xC) 2 + (yA - yC) 2. Note que as parcelas estão elevadas ao quadrado, o que faz com que (xC - xB) 2 + (yC - yA) 2 = [2 – (- 1)]2 + (2 – 3)2 = 32 + (- 1)2 = 9 + 1 = 10 e (xB - xC) 2 + (yC - yA) 2 = (-1- 2)2 + (3 – 2)2 = (-3)2 + 12 = 9 + 1 = 10. Da discussão realizada anteriormente, chamamos a atenção para o fato de que módulo sempre resulta um valor positivo. Vimos também que módulo e comprimento do vetor são termos equivalentes e, uma vez que não tem sentido pensarmos em comprimentos negativos, por consequência, fica sem sentido também nos referirmos ao módulo de um vetor como sendo negativo. Casos Particulares de Vetores a) Dois vetores u e v são considerados iguais e indicamos u = v se tiverem iguais o módulo (comprimento), a direção e o sentido. Figura 1.6 b) Dois ou mais vetores u , v e w , por exemplo, são paralelos e indicamos por u // v // w se os seus representantes tiverem a mesma direção. Na Figura 1.6, temos que u // v // w , em que u e w têm o mesmo sentido, enquanto v tem sentido contrário ao de u e w . Figura 1.7 c) Na Figura 1.7, estão representados dois vetores não nulos, v e - v , os quais apresentam mesmo módulo e mesma direção, no entanto, o sentido contrário. Logo, temos, BA = - AB , isto é, sendo v = AB , o vetor BA é o oposto de AB . 13 d) O vetor zero (ou nulo), que indicamos por 0 ou AA (a origem coincide com a extremidade), é paralelo a qualquer outro vetor, pelo fato de não apresentar direção e sentidos definidos. Figura 1.8 e) A cada vetor v , v ≠ 0, é possível associar dois vetores unitários de mesma direção de v : u e - u . Observe que, na Figura 1.8, temos |v | = 5 e |u | e |-u | = 1. O vetor u com mesmo sentido de v é denominado versor de v . Na realidade o vetor u é versor de todos os vetores de mesmo sentido e paralelos a v e medidos na mesma unidade, e não apenas versor do vetor v . Figura 1.9(a) Figura 1.9 (b) f) Se algum representante de um vetor u formar ângulo reto, ou seja, 90o, com algum representante de v , esses vetores são chamados ortogonais, cuja representação é u ⊥ v . Na Figura 1.9 (a), temos a representação dos vetores u e v , ortogonais. Já a Figura 1.9 (b), mostra dois vetores com origem no ponto O, formando ângulo reto. O vetor zero é considerado ortogonal a qualquer vetor. g) Se existir algum plano em que dois ou mais vetores estão representados, dizemos que esses vetores são coplanares. Note que dois vetores quaisquer u e v são sempre coplanares, pois basta considerar um ponto O no espaço e, com origem nele, traçar os dois representantes u e v pertencentes ao plano α que passa por aquele ponto. (Figura 1.10) Os vetores representados no plano α acima são não paralelos, o que faz com que estes vetores determinem a direção do plano α, que será a mesma de todosos planos que lhe forem paralelos. Note que três vetores podem ser coplanares, ou seja, estão num mesmo plano, como no caso da Figura 1.11 (b) ou não, como na Figura 1.11 (a). Figura 1.10 1.11 (a) 1.11 (b) 14 Unidade: Vetores - viés geométrico Atividade 1 A Figura (1.12) ao lado tem formato de um trapézio, forma- do por dez quadrados congruentes (de mesmo tamanho), dois triângulos congruentes (∆CDE e ∆KLM) e dois trapézios seme- lhantes (EDKJ e MLUT). Verifique se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações: a) BC = JK h) PN // CB o) PI ⊥ AF b) GI = JM i) HE // PK p)|GE | = | MO | Figura 1.12 c) AB = MN j) BT // UC q)| AK | = |QK | d) OJ = - FH k) AB ⊥ ES r)| AQ | = | AC | e) JE = - EJ l) IN ⊥ JO s) | AM |=3 | FH | f) FM = AJ m) RM ⊥ MJ g) EP = RK n) OJ ⊥ JF Resoluções a) (Verdadeiro) Observe que os vetores BC = JK , representam medidas dos lados de quadrados, os quais são congruentes. Os vetores também são paralelos (têm mesma direção) e as setas têm mesmo sentido. Portanto, eles são iguais, por apresentarem mesmo comprimento, direção e sentido. b) (Verdadeiro) Os vetores GI = JM são as diagonais de dois quadrados de medidas iguais (congruentes), logo elas têm a mesma medida. c) (Falso) Para que dois vetores sejam iguais, deverão apresentar mesmo módulo (comprimento), mesma direção e mesmo sentido. Os vetores em questão apresentam mesmo comprimento, mesma direção, porém os sentidos são contrários. O vetor AB aponta para direita (Leste), enquanto o vetor MN aponta para esquerda (Oeste). d) (Verdadeiro) Os vetores OJ = - FH são diferentes, pois apresentam mesmo comprimento, mesma direção (paralelos), mas os sentidos são opostos. OJ é inclinado ascendente (sobe) e FH é inclinado descendente (desce). Porém, ao trocarmos o sinal de FH , que passa a ser - FH , ele passa a ter o seu sentido invertido, adotando o mesmo sentido de OJ . 15 e) (Verdadeiro) Esse caso é semelhante ao anterior. JE e EJ têm sentidos opostos, porém, ao trocarmos o sinas de EJ , que passa a ser - EJ , seu sentido é invertido, tornando-o igual ao vetor JE . f) (Verdadeiro) Observamos claramente no desenho que o percurso de F até M é igual ao percurso de A até J. Além disso, eles têm a mesma direção (paralelos e colineares) e o mesmo sentido. Nota: a palavra colinear indica que os dois vetores estão sobre uma mesma reta. g) (Falso) Observe que EP e RK têm mesmo comprimento e mesma direção (paralelos), no entanto, os sentidos são opostos. EP é descendente inclinado, enquanto RK é ascendente inclinado. h) (Verdadeiro) Nesse caso, devemos observar que, para que dois vetores sejam paralelos, a única condição necessária é que tenham mesma direção. Note que PN é o dobro de CB e os sentidos são contrários, mas isso não exclui o fato de serem paralelos, uma vez que eles têm a mesma direção. i) (Falso) Pela análise do desenho, verificamos que HE não é paralelo a PK . HE é paralelo, por exemplo, a GC , PJ e OK , entre outros. Perceba que, se prolongarmos HE e PK , infinitamente, haverá um momento em que eles se intersectam (se tocam). Isso contraria a definição de paralelismo, a qual afirma que os dois vetores deveriam manter-se equidistantes (ter a mesma distância um do outro) em toda a extensão dos mesmos. j) (Verdadeiro) BT e UC são paralelos. Eles têm mesmo comprimento, mesma direção e sentidos opostos. Quando pensamos em paralelismo, a única condição necessária é que os vetores tenham a mesma direção, o que é garantido nessa situação. k) (Verdadeiro) Os vetores AB e ES são ortogonais. Note que não há necessidade de contato entre os dois vetores para se ter a presença de um ângulo de 90o. Podemos imaginar o vetor ES se sobrepondo (ficando sobre) o vetor BO ou AD (conceito de vetor livre) para perceber a formação do ângulo reto (90o). l) (Verdadeiro) Note que IN e JO são as diagonais do quadrado IJNO. Podemos observar pelo desenho, ou utilizar a propriedade que diz que “as diagonais de um quadrado se tocam formando um ângulo de 90o.” Portanto, IN ⊥ JO . 16 Unidade: Vetores - viés geométrico Figura 1.13 m) (Falso) Observe a Figura 1.13 ao lado, na qual conclu- ímos que RM e MJ são perpendiculares. Do quadra- do JKMN, podemos afirmar que o ângulo JMN mede 45o. Já do retângulo RTMO, percebemos claramente que os ângulos α e β são diferentes. Deduzimos facil- mente que 45o + α não vale 90o, uma vez que α pode ser maior do que 45o ou α pode ser menor do que 45o. Logo, RM e MJ não formam 90o. n) (Verdadeiro) Como OJ e JF são diagonais de dois quadrados e, comparando com o desenho do item anterior, podemos afirmar que OJ ⊥ JF . o) (Verdadeiro) Novamente, utilizando o conceito de vetor livre, podemos deslocar o vetor PI , substituindo-o por GB , ou deslocar o vetor AF e substituí-lo por HO . Em ambos os casos, teremos a formação de um ângulo reto. Logo, os vetores são ortogonais. p) (Verdadeiro) GE e MO têm o mesmo comprimento, mesma direção e sentidos opostos. Já em módulo, como vimos anteriormente, os resultados passam a ser positivos. Pensemos do seguinte modo:u = GE , logo -u= MO . Em módulo, |u | =|- u | = u . O módulo faz com que o vetor - u tenha o sentido alterado, passando a ser +u . q) (Verdadeiro) Quando comparamos vetores em módulo, o único quesito que nos interessa é se os vetores têm o mesmo comprimento. Pelo desenho, é fácil perceber que esses vetores têm o mesmo comprimento, não nos interessando a direção e o sentido. Logo, eles são iguais. r) (Falso) O vetor AQ tem comprimento maior do que o vetor AC , logo, | AQ | ≠ |( AC |. s) (Verdadeiro) AM é realmente o triplo de FH . Como eles se apresentam em módulo, a direção e o sentido não nos interessam. Logo, | AM |= 3 | FH |. Atividade 2 A Figura 1.14 a seguir ilustra um sólido geométrico (paralelepípedo retângulo) com seis faces, duas em duas, paralelas. Verifique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. 17 a) DE = BG Figura 1.14 b) EF = - AB c) GF ⊥ AH d) EF ⊥ HB e) | HF | = |CA | f) HD // BF Resoluções Os conceitos que nortearam as discussões no exemplo 1 são os mesmos a serem aplicados no exemplo 2. Desse modo, as resoluções doravante realizadas se darão de modo mais objetivo. a) (Verdadeiro) Os vetores são iguais, pois apresentam mesmo comprimento, direção e sentido. b) (Falso) O sinal de menos na frente do vetor AB faz com que ele tenha sentido contrário ao do vetor EF , tornando a afirmação falsa. c) (Verdadeiro) Utilizando o conceito de vetor livre, fica claro que GF é ortogonal a AH . d) (Falso) Utilizando novamente o conceito de vetor livre, podemos imaginar o transporte do vetor EF para a posição do vetor AB , uma vez que eles são iguais. Então, podemos concluir facilmente que EF é ortogonal a HA . e) (Verdadeiro) Observe que HF e CA representam as diagonais da face inferior e superior do paralelepípedo respectivamente. Sendo assim, apresentam medidas iguais. Como tais medidas foram apresentadas em módulo, não nos interessa a direçãoe o sentido dos vetores, mas simplesmente os comprimentos. f) (Falso) Observe que se sobrepormos as faces ADEH e BCFG, os vetores HD e BF , não ficaram sobrepostos, mas, ao contrário, vão se intersectar em um ponto. Logo, HD não é paralelo a BF . 18 Unidade: Vetores - viés geométrico Operações com Vetores Adição de Vetores Figura 1.15 Vamos encontrar a soma dos vetores u e v . Consideremos na Figura 1.15, um ponto A Qualquer. Com origem nele, vamos considerar um segmento orientado AB, o qual representa o vetor u . Pela extremidade B, tracemos um segmento orientado BC, o qual representa o vetor v . O vetor orientado de origem em A e extremidade em C é, definido como o vetor soma de u e v , que representamos, u + v .= AC ou AB + BC = AC . Se considerarmos vetores u e v , com u // v , obtemos o vetor u + v (u e v têm o mesmo sentido), Figura 1.16(a) e (u e v têm sentidos contrários), Figura 1.16(b). Figura 1.16 No caso em que u e v não são paralelos, basta obter o triângulo, com atenção especial à escolha da origem do representante v , a qual deverá coincidir com a extremidade do represen- tante u . Outra opção é a de nos valermos da regra do paralelogramo, a qual equivale em adotar representantes de u e v com a mesma origem de A (Figura 1.17) e construir o paralelogramo ABCD. O segmento orientado AC é um representante de u + v , uma vez que v = BC e a diagonal gera o triângulo ABC. Note que, se u e v são paralelos, não faz sentido nos referirmos, nem ao triângulo e nem ao paralelogramo. Figura 1.17 Observe que, na Figura 1.17, os vetores u e v foram deslocados paralelamente, com suas origens no ponto A. O conceito que nos permite o deslocamento desses vetores é o de vetor livre, sobre o qual discutimos anteriormente. Os vetores deslocados são equivalentes aos vetores u e v , dados nas suas posições originais. A escolha do vetor AB como representante do vetor u não afeta o resultado da adição de u e v (u + v ). Note outro representante ' 'A B de u e, em consequência, outro representante ' 'B C de v , conforme podemos constatar na Figura 1.18. Então ' 'A B é equivalente ao vetor AB (representa-se: ' 'A B ~ AB ), o que leva ao fato de que ' 'B C ~ BC . 19 Figura 1.18 Paralelogramo e propriedades importantes Paralelogramo é uma palavra derivada do grego, que significa “região limitada por linhas paralelas”. O paralelogramo é um polígono formado por quatro lados, em que os lados paralelos têm medidas iguais. Como é característico de todo quadrilátero, a soma dos ângulos internos é 360º, as diagonais, que são duas, cruzam-se no ponto médio e os ângulos opostos têm medidas iguais. Os paralelogramos notáveis são: Quadrado, Retângulo e Losango. Observe, nas Figuras abaixo, a representação do que foi exposto acima. Figura 1.19 Para determinarmos a soma de três ou mais vetores, adotaremos procedimento semelhante ao utilizado na regra do paralelogramo (Figura 1.17), Observe, na Figura 1.18, a representação da soma dos vetores u, v e w. São válidas as seguintes propriedades para a adição, conside- rando u , v e w vetores quaisquer: 1º) Comutativa: u + v = v + u 2º) Associativa: (u + v ) + w = u + ( v + w ) 3º) Elemento neutro: u + 0 = u 4º) Elemento oposto: u + (-u ) = 0 Observe, na Figura 1.20 a seguir, a representação da diferença entre u e v , que pode ser escrita de duas maneiras: u - v = u + (- v ) Observe que a soma u + v é obtida do seguinte modo: AB + BC = AC . 20 Unidade: Vetores - viés geométrico Figura 1.20 Já a diferença u - v é obtida da seguinte forma: BC + CD = BD Note que uma das diagonais do paralelogramo representa a soma u + v e a diferença u - v é representada pela outra diagonal. Atividades 1) Com base na Figura 1.12, página 14, determine os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A: (Lembre-se de utilizar o conceito de vetor livre quando necessário.) a) AG + GF b) AB + BC c) AB + CB d) AB + CN e) AJ + CH f) AE + AH g) AO - OJ h) GI - FH i) FE - EF j) GI + IJ + JO k) HO + ON + NH Resoluções: Note que todos os vetores deverão ser expressos com origem em A. a) AF Eu me desloco de A até G, em seguida de G até F. Logo, o vetor resultante terá o ponto A como origem e o ponto F como extremidade. b) AC . Eu me desloco de A até B, em seguida de B até C. Logo, o vetor resultante terá origem em A e extremidade em C. c) 0 . Primeiro, eu me desloco de A até B. O vetor CB deve ter sua origem no ponto B, que é a extremidade do vetor AB . Assim, o vetor BA será substituído pelo vetor CB , pois BA ~ CB (conceito de vetor livre). Note que, ao fazermos tal substituição, voltaremos ao ponto de partida, ou seja, ao ponto A. Isso indica que o nosso vetor deslocamento é nulo. d) AO . O vetor CN será substituído pelo vetor BO e) AQ . O vetor CH será substituído por JQ . f) AN . O vetor AH será substituído por EN . g) AQ . A diferença ( AO - OJ pode ser escrita como AO + JO . h) AC . GI serão substituídos por AF , e - FH , será substituído por FC . 21 i) AC . FE serão substituídos por AB e - EF será substituído por FE j) AI GI � �� � �� × será substituído por AF , IJ será substituído por FE e JO , substituído por EI . k) 0 . HO será substituído por AF , ON será substituído por FE e, NH será substituído por EA . 2) Determine os vetores abaixo, com base na Figura 1.14, na página 17, expressando-os com origem no ponto A. a) AB + CF d) CF + HE b) HG + GE e) HF - GF c) BG + HE f) HF + DA + GE Resoluções a) AG . CF substituídos por BG (vetor livre). b) AD . HG substituídos por AB e GE por BD . c) AE . BG substituídos por AH e HE é mantido. d) AE . CF substituídos por AH e HE é mantido. e) AB . HF substituídos por AC . O vetor - GF pode ser escrito como FG , o qual é substituído por CB . f) AD . HF substituídos por AC , DA por CB e GE é substituído por BD . Multiplicação de Vetor por Número Real Considerando um vetor v ≠ 0 e um número real a ≠ 0, chamamos produto de um vetor v por um número real a, o vetor a • v tal que: a) v e a • v tenham a mesma direção: a • v é paralelo a v . Isto é, o vetor v é multiplicado por um número real, suponhamos, por exemplo, que a = ±2. Assim, o vetor a • v , terá o dobro da medida do vetor v , no entanto, sua direção será mantida. Quando v é multiplicado por 2, o novo vetor a • v , estará com a seta apontando no mesmo sentido e direção de v . Já, quando v é multiplicado por – 2, o vetor a • v , estará com a seta apontando na mesma direção de v , no entanto, no sentido contrário ao de v . 22 Unidade: Vetores - viés geométrico Observe a representação gráfica a seguir, a qual ilustra o que foi descrito acima. Figura 1.21 b) Para que v e a • v tenham ou nãoo mesmo sentido, duas situações precisam ser consideradas: o número real a seja maior do que zero ( a > 0), ou esse número real seja menor do que zero (a < 0). Observe que a Figura 1.21 acima ilustra essas duas possibilidades. No item a, essas situações já foram explicitadas. Vamos apenas reforçá-las. Quando um vetor é multiplicado por um número real positivo, são mantidos a direção e o sentido. Já quando o vetor é multiplicado por um número real negativo, a direção é mantida, mas o sentido se inverte. Observe que, se o número real a for igual a zero (a = 0), ou o vetor v, for zero ( v = 0 ), então a • v = 0 . A Figura 1.22 abaixo ilustra um vetor v e alguns de seus múltiplos. Figura 1.22 c) Módulo: |a • v | = |a| • | v |, isto equivale a dizer que o comprimento de a • v é igual ao comprimento de v multiplicado por |a|. Acompanhe o exemplo: |a • v | = |-2| • | v | = 2 • | v | Atividade Figura 1.23 Na malha quadriculada ao lado, estão representados os vetores u , v e w �� , todos com origem no mesmo ponto. Obtenha graficamente o vetor x tal que: a) x u v w � � � �� = + −2 1 3 b) x u v w � � � �� = − + 3 5 2 1 3 c) x u v w � � � �� = + + 1 2 d) x u v w � � � �� = − + + 2 5 23 Resoluções: Figura 1.24 a) Lembre-se que os vetores podem ser deslocados, porém, deverão estar paralelos aos vetores originalmente fornecidos (conceito de vetor livre). O vetor - u deverá ter o mesmo tamanho e direção do vetor u , porém, o sinal de menos inverterá o sentido do vetor. Observe que o vetor v é a diagonal de um retângulo de 5 por 5, ou seja, comprimento 5 unidades e a altura também tem 5 unidades. Observe a Figura ao lado: Figura 1.25 A representação do vetor 2 v é bastante simplificada, uma vez que o vetor v é horizontal. Analise a representação do vetor 2 v : O nosso último vetor, w �� , localiza-se dentro de um retângulo de 6 unidades de comprimento por 3 unidades de altura. No entanto, queremos representar o vetor - 2/3 w �� . Observe a representação isolada do vetor w �� e do vetor - 2/3 w �� , Figuras 1.26(a) e 1.26(b): 1.26 (a) 1.26(b) Você pode estar se perguntando como representar frações do vetor. No nosso caso, queremos representar o vetor -2/3 w �� . Enfatiza-se aqui, o fato de que o vetor w �� é a diagonal de um retângulo de 6 unidades de comprimento por 3 unidades de altura. Se considerarmos 1/3 de 6 unidades (comprimento), teremos 2 unidades. Isso equivale a dividir 6 por 3, que resulta em 2. Só que não queremos apenas 1/3, mas sim 2/3. Sabemos que 2/3 é igual a 1/3 mais 1/3. Logo, o comprimento equivalente a 2/3 de 6 unidades (comprimento) é 4. Raciocínio análogo é utilizado para obtermos 2/3 da altura. A altura do retângulo (Figura 1.26(a)) é 3 unidades. Primeiro calculamos 1/3 de 3 unidades (altura), o que resulta em 1 unidade. Como queremos 2/3 dessa altura, então, teremos um retângulo com 2 unidades de altura. Concluímos que o vetor 2/3 w �� , será a diagonal de um retângulo com 4 unidades de comprimento, por duas unidades de altura, conforme representado na Figura 1.26(b). O sinal negativo do vetor, ou seja, - 2/3 w �� , indica que haverá alteração no sentido. Observe na Figura 1.26(b), que a seta tem sentido contrário ao da indicada na Figura 1.26 (a). Observe que o vetor w �� e - 2/3 w �� , são para paralelos, têm a mesma direção, mas os sentidos são contrários. A seguir, encontra-se a representação geométrica do vetor da atividade: a) x u v w � � � �� = + −2 1 3 Note que o vetor deslocamento x deve sair do nosso ponto de partida O (origem) e ter sua extremidade (seta) coincidindo com a extremidade do último vetor representado. A resultante da operação com vetores sempre acaba no encontro de duas setas. Conforme ilustrado na Figura a baixo. 24 Unidade: Vetores - viés geométrico Figura 1.27 b) x u v w � � � �� = − + 3 5 2 1 3 Figura 1.28 Doravante você encontrará apenas as representações geométricas, sem exposições escritas sobre o processo de resolução. Isso se deve ao fato de que no item a foi apresentada uma discussão ampla e com detalhes suficientes para que você consiga entender sem maiores dificuldades como o vetor x foi obtido em cada caso. c)x u v w � � � �� = + + 1 2 Figura 1.29 d) x u v w � � � �� = − + + 2 5 Figura 1.30 25 Ângulo de Dois Vetores Figura 1.31 Observe a Figura a seguir, na qual estão representados os vetores u e v e o ângulo α, entre eles (Figura 1.31). De acordo com a convenção, α varia entre 0o e 180o, simbolicamente, escrevemos, 0o≤ α ≤ 180o. Na Figura 1.31, o ângulo α, originou-se a partir de duas semirretas OA e OB de mesma origem O. Os vetores u e v , claramente não são paralelos, logo, o ângulo formado entre eles atende ao que discutimos anteriormente, ou seja, 0o ≤ α ≤ 180o. E, caso os vetores u e v , sejam paralelos, qual a medida ângulo formado entre eles? Tome um tempo para analisar essa situação. Pois bem, vamos em frente! Quando dois vetores são paralelos, temos duas situações a considerar: 1a) Eles têm o mesmo sentido. Então, o ângulo que se forma entre eles é zero. Se os vetores são paralelos, não há necessidade de nomeá-los de u e v por exemplo. Podemos denominá-los de u e 3u , por exemplo, uma vez que eles são paralelos, um será múltiplo do outro obrigatoriamente. Observe as representações a seguir (Figura 1....(a) e (b)): Figura 1.32(a) Figura 1.32(b) Figura 1.33 Vamos utilizar o modelo seguinte (Figura 1.33) para entender o porquê de vetores paralelos e de mesmo sentido formarem um ângulo igual a zero. Imagine que a origem dos vetores u e v seja a mesma, o ponto O, conforme indicado na Figura acima. Vamos supor que a origem O dos vetores seja um ponto fixo, sobre o qual os vetores u e v possam se deslocar. Se queremos que u e v sejam paralelos, deslocamos um dos vetores até que ele se sobreponha ao outro. Por exemplo, digamos que u se desloque até ficar sobre o vetor v , ou vice-versa. A medida que o vetor u se aproxima de v , o ângulo α, se aproxima de zero, alcançando o valor zero quando u e v se sobrepõem. Logo, a conclusão óbvia é a de que, quando dois vetores são paralelos e têm mesmo sentido, o ângulo formado entre eles é zero. Voltemos à Figura 1.33, para analisarmos o caso em que os vetores são paralelos (têm mesma direção), mas com sentidos contrários. Nesse caso, os vetores não deverão se aproximar, pelo contrário, deverão se afastar até que sejam paralelos e opostos. Perceba que, à medida que o vetor v vai se afastando de u , o ângulo α vai aumentando até atingir o valor de 180o. Essa é a 26 Unidade: Vetores - viés geométrico condição para que os vetores sejam paralelos e tenham sentidos opostos. As Figuras 1.34(a) e (b) retratam o que discutimos anteriormente: Figura 1.34(a) Observe na Figura acima que os vetores u e v coincidem, o que é assim representado: u ≡ v . O ângulo que entre eles se forma é zero. Já na Figura 1.34(b), os vetores formaram entre eles um ângulo de 180o. Observe que o vetor u deslocou-se α graus no sentido anti-horário até completar o ângulo de 180o, ou seja, α + β = 180o. Figura 1.34(b) Atividades 1. O ângulo formado pelos vetores u e v mede 120o. Determine o ângulo formado pelos vetores: a) u e - v b) -u e - v c) -u e – 3 v d) 2u e 5 v Figura 1.35 2. Os vetores u , v e w representados na Figura 1.35, são coplanares. Com base nessas informações, determine: a) O ângulo formado pelos vetores – 2 v e - w ; b) O ângulo formado pelos vetores u e - 2 w . Resoluções Figura 1.36 1. Primeiramente, faremos a representação geométrica dos vetores u e v , os quais estão em negrito. Os vetores com sentidos contrários, -u e - v , também estão desenhados. Lembre-se de que estudamos recentemente que vetores paralelos e com sentidos contrários formam ângulo de180o. Essa informação 27 é essencial para calcularmos o ângulo formado entre dois vetores. a) Vamos subdividir o paralelogramo para calcular o ângulo entre u e - v . Figura 1.37 O ângulo formado entre os vetores u e v é de 120o e o ângulo formado entre os vetores v e - v é de 180o (ângulos paralelos e opostos). O ângulo que está entre u e - v é a diferença entre 180o e 120o, ou seja, 180o - 120o = 60o. Figura 1.38 b) Observe que o ângulo formado entre os vetores u e v e entre -u e- v são iguais (120o). Esses ângulos são chamados de O.P.V., opostos pelo vértice. c) Analise o desenho a seguir: Figura 1.39 Note, na representação acima, que o ângulo formado entre os vetores -u e – 3 v é 120o. No item b), analisamos o ângulo formado entre -u e – v , que também é 120o. O vetor -3 v é múltiplo de - v , fato que obviamente aumenta o comprimento do vetor, mas não o ângulo. d) No item C), vimos que, ao multiplicamos um vetor por um número real, esse vetor pode aumentar, ou diminuir o comprimento desse vetor, mas isso não interfere no tamanho do ângulo. Aplicando essa ideia para calcular o ângulo formado entre os vetores 2u e 5 v , concluímos que esse ângulo é igual à medida do ângulo formado entre os ângulo u e v , que é 120o. 28 Unidade: Vetores - viés geométrico 2. a) Do que discutimos na atividade 1, podemos concluir que o ângulo formado entre os vetores – 2 v e - w é 75o. Observe a figura a seguir. Figura 1.40 b)Observe pela representação geométrica que o ângulo formado entre os vetores u e - 2 w é de 135o. Figura 1.41 29 Material Complementar 1) CAMARGO, Ivan de. Geometria Analítica: um tratamento vetorial. 3.ed. São Paulo. Pearson Prentice Hall, 2005. 2) JULIANELLI, José Roberto. Cálculo Vetorial e Geometria Analítica. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2008. 3) WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. 2. ed. São Paulo: Makron Books do Brasil, 2000. 4) ANTON, Howard. Álgebra Linear com aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2001 30 Unidade: Vetores - viés geométrico Referências BOULOS , Paulo, CAMARGO, Ivan de. Geometria Analítica: i, tratamento vetorial – São Paulo: Mc Graw-Hill 2005, 3 edição LIMA, Elon Lages. Coordenadas no Espaço – Rio de Janeiro: Coleção do professor de Matemática, 1993. SIMMONS, George F. Cálculo com Geometria Analítica – São Paulo: Mc Graw-Hill 1987. SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com geometria analítica – volume 2. São Paulo: Makron Books do Brasil Editora Ltda, 1994, 2 edição VENTURI, Jaci J. álgebra Vetorial e Geometria Analítica – Curitiba: Scientia et Labor – Editora da UFPR, 1990, 3 edição WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica – São Paulo: Makron Books Ltda, 2000 www.cruzeirodosulvirtual.com.br Campus Liberdade Rua Galvão Bueno, 868 CEP 01506-000 São Paulo SP Brasil Tel: (55 11) 3385-3000 www.cruzeirodosulvirtual.com.br Rua Galvão Bueno, 868 Tel: (55 11) 3385-3000
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