AAM_Integrais_Subst_Trigonometrica

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
 
INTEGRAL INDEFINIDA 
 
Identidades Trigonométricas 
 
i) 
ii) 
iii) 
iv) 
v) 
vi) 
vii) 
viii) 
Integração por substituição trigonométrica 
 
 A substituição trigonométrica tem como objetivo eliminar o radical 
das expressões: 
i) 
 
ii) 
 
 
iii) 
 
Caso 1: 
A substituição indicada é: 
com 
Essa substituição pode ser visualizada da seguinte maneira no triangulo retângulo 
= = 
= 
Exemplo: Calcule a seguinte integral: 
Solução: 
e 
Voltando para a variável x, temos: 
; 
Substituindo no resultado da integral: 
 
Caso 2: 
A substituição indicada é: 
Onde, 
Essa substituição pode ser visualizada da seguinte maneira no triangulo retângulo 
= = 
= 
Exemplo: Calcule a seguinte integral: 
Solução: 
Voltando para a variável x, temos: 
Substituindo no resultado da integral: 
 
e = 
Caso 3: 
A substituição indicada é: 
Onde, 
Essa substituição pode ser visualizada da seguinte maneira no triangulo retângulo 
= = 
= 
Exemplo: Calcule a seguinte integral: 
Solução: 
Voltando para a variável x, temos: 
Substituindo no resultado da integral: 
 
e = 
(Caso 3) 
e 
Justificando a substituição. 
 
Com base nos resultados obtidos acima, podemos montar uma tabela: 
Vejam que, para representar graficamente as substituições sugeridas no triângulo 
retângulo, o radical ficará sempre no lado do triângulo que não é utilizado pela 
relação trigonométrica: 
Caso I: Usa-se x = a sen(θ) ; logo, o radical aparece no cateto adjacente a θ; 
Caso II: Usa-se x = a tg(θ) ; logo, o radical aparece na hipotenusa; 
Caso III: Usa-se x = a sec(θ); logo, o radical aparece no cateto oposto a θ.