Pratica 1- Principio de Fermat

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ 
CENTRO DE CIÊNCIAS 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRÁTICA 1: PRINCÍPIO DE FERMAT DO TEMPO MÍNIMO PARA A 
PROPAGAÇÃO DA LUZ – ANALOGIA MECÂNICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOME 
 
ANDERSON CLEYTON LIMA - MATRÍCULA: 433633 
 
 
 
 
 
 
 
PROF: MARCOS ANTONIO ARAUJO SILVA 
 
 
 
 
FORTALEZA 
15/09/2022 
 
http://www.si3.ufc.br/site/marcos.antonio
1.1 OBJETIVOS 
• Verificar o princípio de Fermat do tempo mínimo em um meio homogêneo. 
• Determinar a lei da reflexão num meio homogêneo. 
• Determinar a lei da refração de Snell na interface entre dois meios homogêneos. 
 
1.2 MATERIAL 
• Estrutura de madeira retangular; 
• Cordões (dois); 
• Massa; 
• Bloco de madeira com prego; 
• Régua e Transferidor. 
 
1.3 Fundamentos teóricos 
Princípio de Fermat 
Quando falamos em ótica geométrica um dos principais colaboradores foi Pierre de Fermat, esse físico 
e matemático pontuou em suas observações e experimentações a trajetória da luz. O princípio de Fermat 
discorre que a natureza sempre escolhe os menores caminhos, baseado nisso enunciou sua teoria 
descrevendo a trajetória de propagação da luz pelo seguinte conceito: "A trajetória percorrida pela luz 
ao propagar-se de um ponto a outro é tal que o tempo gasto para percorrê-la é estacionário a respeito 
das possíveis variações de trajetória." 
Sendo que o meio analisado é homogêneo, caso isso não ocorra não é assegurando que o trajeto mais 
rápido é o menor e isso fica demostrado nos exemplos de reflexão e refração formulados por ele. 
A característica importante, é que as trajetos próximos ao "verdadeiro" requerem tempos 
aproximadamente iguais. 
Para Fermat a refração se reduzia a um problema de geometria 
A definição de tempo mínimo é formulada pelo somatório de tempo percorrido em cada meio. 
𝑡𝑖 =∑ 𝑡𝑖
𝑁
𝑖=1 
Onde, 
ti = tempo para percorrer em cada meio. 
 
Sabendo que ti = di /vi e que a velocidade do meio (vi) é o índice do meio (n) dividido pela a velocidade 
da Luz (c) chegamos à equação: 
𝑡𝑖 =
1
𝑐
∑ 𝑛𝑖𝑑𝑖
𝑁
𝑖=1 
Usando um conceito a nível superior podemos encontrar o tempo utilizando à integral: 
𝑡𝑖 =∫
𝑛
𝑐
𝐵
𝐴
𝑑𝑠 
Onde: 
ds - é um elemento infinitésimo de comprimento. 
A - é o inicio da trajetória da luz 
B - é o fim da trajetória da luz 
 
Figura1: Exemplificação gráficas de trajetórias 
Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Princ%C3%ADpio_de_Fermat 
 
 
As leis da reflexão e refração da luz se derivam do princípio de Fermat. E são descritas como: 
Lei da reflexão: Se um feixe de luz sai de um determinado ponto emissor em direção a uma superfície 
refletora plana e atinge outro ponto em um meio homogêneo, ou seja com um mesmo índice de refração 
e, portanto, com a mesma velocidade, o tempo necessário para percorrer o caminho entre os dois pontos 
(passando pela superfície plana) será a distância entre eles dividido pela velocidade da luz no meio, 
sendo que a velocidade é uma constante. 
Lei da refração: 
“O ângulo de incidência é igual o ângulo de reflexão.” 
O Princípio de Fermat quando analisado matematicamente pode confirmar a lei de Snell, que 
descreve que haverá um desvio angular quando a luz passar para um meio com índice de 
refração diferente do qual ele estava percorrendo 
 
Figura2: Refração da luz na interface entre dois diferentes meios 
Fonte: Lei de Snell – Wikipédia, a enciclopédia livre (wikipedia.org) 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Princ%C3%ADpio_de_Fermat
https://pt.wikipedia.org/wiki/Velocidade_da_luz
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%8Dndice_de_refra%C3%A7%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%8Dndice_de_refra%C3%A7%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Snell
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Leastaction.JPG
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Snells_law2.svg
analiticamente, em um plano cartesiano, que afirma que o produto do índice de refração do primeiro 
meio de propagação com o seno do ângulo de incidência é equivalente ao produto do índice de 
propagação do segundo meio com o seno do ângulo refratado.[4] 
𝑛1𝑠𝑒𝑛𝜃1 = 𝑛2𝑠𝑒𝑛𝜃2 
 
 
Figura3: Eixo de coordenadas ente dois índices de refração diferentes 
Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Princ%C3%ADpio_de_Fermat 
 
O raio de luz se propaga de A a B passando por P, que é um ponto móvel sobre o eixo das abcissas. 
Seja um raio de luz que se propaga de A a B atravessando a superfície que separa os dois meios o tempo 
que demora o raio para percorrer essas distâncias será: 
 
Sejam v1 e v2 as velocidades de propagação da luz no primeiro e segundo meio respectivamente. 
Se buscarmos o valor de X quando t é mínimo, é equivalente ao encontramos o valor de X para o qual 
a função derivada de t assumindo valor 0. 
 
 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%8Dndice_de_refra%C3%A7%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%82ngulo_de_incid%C3%AAncia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Princ%C3%ADpio_de_Fermat#cite_note-4
https://pt.wikipedia.org/wiki/Princ%C3%ADpio_de_Fermat
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Snell_by_fermat.jpg
1.4 PROCEDIMENTOS 1.4.1 PROCEDIMENTO 1: Verificar a Lei de Reflexão. 
Primeiramente, observe que na Figura 2 o fio é inextensível e seu comprimento vale PA + AB + BC. 
Quando o comprimento AB + BC for mínimo, o comprimento PA será máximo e L será mínimo; uma 
vez que o comprimento total do fio é constante. 
1.4.1.1 Monte o experimento como mostra a Figura 2. 
1.4.1.2 Com o bloco de madeira com o prego junto da base do suporte de madeira, faça-o percorrer para 
a esquerda e para a direita. 1.4.1.3 Quando o peso estiver na posição mais baixa (quando PA for máximo 
ou L tiver valor mínimo), use o transferidor para medir os ângulos entre a normal e o fio da esquerda 
(incidência: 1), e a normal e o fio da direita (reflexão: 2), no ponto B como descrito na Figura 3 
1.4.1.4 Repita o procedimento an terior três vezes (uma para cada membro da equipe) e analise a média 
dos ângulos 1 e 2. 
 
Figura 2 - Arranjo experimental para o PROCEDIMENTO 1 
 
Figura 3 - Esquematização da linha normal e os ângulos de incidência e reflexã 
 
Tabela 1 - Ângulos de incidência (1) e de reflexão (2). 
 1 ( º ) 2 ( º ) 
MEDIDA 1 34 33 
MEDIDA 1 31 34 
MEDIDA 1 34 33 
MÉDIA 33 33 
 
1.4.2 PROCEDIMENTO 2: Verificar a Lei de Refração 
No caso a seguir, teremos o caso particular de refração quando n2 = 2n1, sendo n1 o índice de refração 
da parte superior (em relação ao suporte de madeira central), e n2 é o índice de refração da parte 
inferior. Novamente, o fio é inextensível e tem comprimento total 5 constante e igual a PA + AB + BC 
+ CB. Quando AB + BC + CB for mínimo, AP será máximo e, consequentemente, L será mínimo. 
1.4.2.1 Monte o experimento como mostra a Figura 4. 
1.4.2.2 Da mesma forma do procedimento anterior, movimente o bloco de madeira com o prego para a 
esquerda e para a direita e observe aonde o peso terá altura (L) mínima. Observe que você terá que 
ajustar o cordão para cima ou para baixo do prego, de acordo com sua direção de movimento. 
1.4.2.3 Quando achar a altura mínima do peso P, use o transferidor para medir os ângulos de “incidência” 
e de “refração”. Anote na Tabela 2 os ângulos 1 (reflexão) e 2 (refração) medidos. 
1.4.2.4 Repita três vezes o procedimento anterior (uma vez para cada membro da equipe) e anote na 
Tabela 2. Figura 4 - Arranjo experimental para o PROCEDIMENTO 2. 
 
Figura 5 - Esquematização da linha normal e os ângulos de incidência e refração. 
 
Tabela 2 - Ângulos de reflexão (1) e de refração (2) correspondente à altura L mínima. 
 1 ( º ) 2 ( º ) 
MEDIDA 1 76 40 
MEDIDA 1 75 39 
MEDIDA 1 75 39 
MÉDIA 75 39 
 
1.5 QUESTIONÁRIO 
1- Quais são os possíveis erros experimentais cometidos no experimento e como eles influem nos 
resultados? 
Resposta: As mensurações deram-se através de equipamento sem calibração, a olho nu e com 
interferência de posiçãotrêmula da mão. Os desvios de erros que poderia apresentar em relação 
a uma mensuração mecânica e sem interferência, estão em uma faixa que assumiremos tolerável 
e que poderá ser arbitrariamente definida ente 5% a 10% 
2- Analise os resultados do PROCEDIMENTO 2 em vista da Lei de Snell. 
Resposta: A construção de um equipamento mecânico capaz de “simular” meios de refração, é de 
grande aproveito, a relação ente os fios 2:1 promoveu a variação dos comprimentos de modo que 
os mesmo poderão simular os índice de refração entre meios. 
3- Discuta a possibilidade de como variar experimentalmente o “índice de refração” do meio 
inferior no PROCEDIMENTO 2. 
Resposta: Para se altera o índice de refração do meio dois, faz-se necessário alterar o comprimento 
do fio 2. Este quando estiver no comprimento máximo possuirá um índice de refração pequeno, 
pois se aproximará da normal. Quando o mesmo for o menor possível se afastará da normal 
aumentando o índice de refração. 
4- Prove a Lei de Reflexão usando o princípio de Fermat. 
Resposta: Como o princípio de Fermat baseia-se no menor caminho, temos que por observação o 
menor caminho em um mesmo médio, seria o que possui o mesmo ângulo, logo temos que o ângulo 
de incidência é igual o ângulo de reflexão, “provando a lei de reflexão”. 
5- Prove a Lei de Snell (ou a lei de refração) usando o princípio de Fermat. (Sugestão: Use a figura 
abaixo para ter uma idéia) 
Resposta: Como enunciado na questão anterior, o menor caminho nem sempre é o mais rápido, 
logo utilizando Fermat, o tempo necessário para a imersão de um meio em outro faz com que o 
tempo para o percorrer poderá não seja igual, podendo ser maior ou menor que o incidente. 
Observa-se que matemáticamente segundo Fermat, o seno do ângulo formado dentro da igualdade 
é fator preponderante para termos uma relação. 
𝑛1𝑠𝑒𝑛𝜃1 = 𝑛2𝑠𝑒𝑛𝜃2 
 
CONCLUSÃO 
A utilização de uma maquete mecânica, facilita a visualização de como se comporta a luz na prática. 
Utilizando-se desse subterfúgio é possível mensurar os ângulos de incidência e reflexão ou refração. 
Outro suporte para a definição dos mesmos ângulos dar-se pelo princípio de Fermat, que enuncia que o 
menor tempo de propagação nem sempre é o menor caminho, e isso nos instiga a verificarmos que 
quando a luz passa de um meio mais refringente para um de menor refringência há um deslocamento do 
feixe de luz, corroborando com a lei de Snell. 
 
BIBLIOGRAFIA 
Acessado em 15-09-2022: https://pt.scribd.com/document/242235307/Principio-de-Fermat-Optica-
Fisica-InfoEscola-pdf 
Acessado em 15-09-2022: https://www.infoescola.com/fisica/principio-de-fermat/ 
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https://www.editorarealize.com.br/editora/anais/conapesc/2016/TRABALHO_EV058_MD4_SA90_I
D1976_07052016203229.pdf 
Acessado em 15-09-2022: 
https://gaz.wiki/wiki/pt/Fermat%27s_principle#:~:text=O%20princ%C3%ADpio%20de%20Fermat%
2C%20tamb%C3%A9m%20conhecido%20como%20o,caminho%20que%20pode%20ser%20percorri
do%20em%20menos%20tempo. 
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https://pt.scribd.com/document/242235307/Principio-de-Fermat-Optica-Fisica-InfoEscola-pdf
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https://gaz.wiki/wiki/pt/Fermat%27s_principle#:~:text=O%20princ%C3%ADpio%20de%20Fermat%2C%20tamb%C3%A9m%20conhecido%20como%20o,caminho%20que%20pode%20ser%20percorrido%20em%20menos%20tempo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Snell