PC_2017-1_AP2_GABARITO

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AP2 – 2017-1 GABARITO Pré-Cálculo 
 
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CEDERJ 
Gabarito da Avaliação Presencial 2 
Pré-Cálculo 
 
Questão 1 [1,2 pt] 
Resolva a equação (1 − 2 sen(𝑥)) (
√2
2
− sen(𝑥)) = 0 para 𝑥 ∈ [0, 𝜋]. 
Resolução: 
(1 − 2 sen(𝑥)) (
√2
2
− sen(𝑥)) = 0 ⟺ 1 − 2 sen(𝑥) = 0 𝑜𝑢 
√2
2
− sen(𝑥) = 0 
Resolvendo cada uma das equações acima: 
• 1 − 2 sen(𝑥) = 0 ⟺ 2 sen(𝑥) = 1 ⟺ sen(𝑥) =
1
2
 . 
Observando o círculo trigonométrico ao lado, vemos que as 
soluções no intervalo (0, 𝜋) são: 𝑥 =
𝜋
6
 ou 𝑥 = 𝜋 −
𝜋
6
=
5𝜋
6
. 
• 
√2
2
− sen(𝑥) = 0 ⟺ sen(𝑥) = 
√2
2
 
Observando o círculo trigonométrico ao lado, vemos que as 
soluções no intervalo (0, 𝜋) são: 𝑥 =
𝜋
4
 ou 𝑥 = 𝜋 −
𝜋
4
=
3𝜋
4
. 
Portanto a solução é o conjunto 𝑆 = {
𝜋
6
,
𝜋
4
,
3𝜋
4
,
5𝜋
6
} 
__________________________________________________________________________________ 
Questão 2 [0,8 pt] 
Resolva a inequação 
1
2
≤ sen(𝑥) ≤ 
√2
2
 para 𝑥 ∈ [0,
𝜋
2
]. 
Resolução: 
Se sen(𝑥) =
1
2
 , 𝑥 ∈ (0 ,
𝜋
2
), então vemos no círculo ao lado que 𝑥 =
𝜋
6
. 
Se sen(𝑥) =
√2
2
 , 𝑥 ∈ (0 ,
𝜋
2
), então vemos no círculo ao lado que 𝑥 =
𝜋
4
. 
Também observando no círculo, vemos que quando 𝑥 cresce de 
1
2
 para 
√2
2
, o 
correspondente ângulo cresce de 
𝜋
6
 para 
𝜋
4
 . 
Portanto, a solução é o intervalo [
𝜋
6
 ,
𝜋
4
]. 
 
Questão 3 [0,8 pt] 
Determine o domínio da função 𝑓(𝑥) = arctan (
𝑥2−2
𝑥
). Dê a resposta na forma de intervalo ou de união 
de intervalos disjuntos. 
 
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Resolução: 
Como 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 está definido para todos os reais as restrições ao domínio da função 𝑓 vem das 
restrições a 
𝑥2−2
𝑥
 . Existe uma única restrição, que é o denominador 𝑥 ≠ 0 . 
Logo, 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = (−∞ , 0) ∪ (0 , +∞) . 
__________________________________________________________________________________ 
Questão 4 [1,2 pt] 
Resolva a equação arctan (
𝑥2−2
𝑥
) =
𝜋
4
. Justifique a resolução. 
Resolução: 
Resolvendo a equação arctan (
𝑥2−2
𝑥
) =
𝜋
4
 : 
arctan (
𝑥2−2
𝑥
) =
𝜋
4
 ⟺ 
𝑥2−2
𝑥
= tan (
𝜋
4
 ) ⟺ 
𝑥2−2
𝑥
= 1, pois tan (
𝜋
4
 ) = 1 e 
𝜋
4
 ∈ (− 𝜋 , 𝜋), intervalo 
de inversão da função tangente ⟺ 𝑥2 − 2 = 𝑥 ⟺ 𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0 ⟺ 
𝑥 =
−(−1) ± √(−1)2−4⋅1⋅(−2)
2⋅1
 ⟺ 𝑥 =
1 ± √9
2
 ⟺ 𝑥 = 
1 ± 3
2
 ⟺ 𝑥 = −1 ou 𝑥 = 2 
O conjunto solução é 𝑆 = {−1 , 2 }. 
 
Questão 5 [0,9 pt] 
Considere a função 𝒇(𝒙) = 𝒆𝒙 . Responda qual é o domínio da função 𝒇 e esboce o seu gráfico. Identifique, 
no gráfico da função 𝑓, através das suas coordenadas, os pontos onde o gráfico dessa função corta os eixos 
coordenados, quando existirem. Justifique. 
Resolução: 
(a) A função 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 está definida para ∀ 𝑥 ∈ ℝ . Assim 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ . 
Se 𝑥 = 0 , então 𝑓(0) = 𝑒0 = 1, portanto, o gráfico de 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 corta o eixo 𝒚 no ponto (𝟎 , 𝟏). 
Como 𝑒𝑥 > 0 para ∀ 𝑥 ∈ ℝ então o gráfico de 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 não corta e nem toca o eixo 𝑥 . 
O gráfico da função 𝑓 é: 
 
 
 
 
 
 
 
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Questão 6 [1,2 pt] 
Responda qual é o domínio da função 𝒈(𝒙) = −𝟐 + 𝒆|𝒙| . Encontre os pontos onde o gráfico da função 𝑔 , 
corta os eixos coordenados. 
Resolução: 
Como a função exponencial 𝑦 = 𝑒𝑥 e a função 𝑦 = |𝒙| estão definidas para ∀ 𝑥 ∈ ℝ , então 
𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ℝ . 
Interseção com o eixo 𝒚 . 
Se 𝒙 = 𝟎 , então 𝑔(0) = −2 + 𝑒|0| = −2+ 𝑒0 = −2 + 1 = −1 , portanto, o gráfico de 𝑔(𝑥) = −2 + 𝑒|𝑥| 
corta o eixo 𝒚 no ponto (𝟎 , −𝟏). 
Interseção com o eixo 𝒙 . 
Fazendo 𝒚 = 𝟎 ∶ 
𝑔(𝑥) = −2 + 𝑒|𝑥| = 0 ⟺ −2 + 𝑒|𝑥| = 0 ⟺ 𝑒|𝑥| = 2 ⟺ ln(𝑒|𝑥|) = ln(2) ⟺ |𝑥| = ln(2) ⟺ 
 𝑥 = − ln(2) 𝑜𝑢 𝑥 = ln(2) . 
Portanto o gráfico de 𝑔(𝑥) = −2 + 𝑒|𝑥| corta o eixo 𝒙 nos pontos (− 𝐥𝐧(𝟐) , 𝟎) 𝒆 ( 𝐥𝐧(𝟐) , 𝟎) . 
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Questão 7 [1,4 pt] 
Esboce o gráfico da função 𝑔(𝑥) = −2 + 𝑒|𝑥| . Explique a construção do gráfico da função 𝑔 através de 
transformações (translações, modulações, etc.) no gráfico da função 𝒇(𝒙) = 𝒆𝒙 . Identifique no gráfico da 
função 𝑔 , através das suas coordenadas, os pontos onde o gráfico dessa função corta os eixos coordenados. 
Resolução: 
Podemos pensar na construção do gráfico da função 𝑔(𝑥) = −2 + 𝑒|𝑥| da seguinte maneira: 
𝒇(𝒙) = 𝒆𝒙 
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑥:
𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥≥0 e
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑡𝑖𝑟 𝑒𝑠𝑠𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 
𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦 
→ 𝑦 = 𝒆|𝒙| 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜
2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
→ 𝒈(𝒙) = −𝟐 + 𝒆|𝒙| 
A questão pede para esboçar o gráfico da função 𝒈(𝒙) = −𝟐 + 𝒆|𝒙| , mas para ilustrar vamos esboçar os 
gráficos auxiliares. 
 
 
 
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑥:
𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥≥0 e
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑡𝑖𝑟 𝑒𝑠𝑠𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 
𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦 
 
→ 
 
 
 
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𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜
2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
→ 
 
 
 
 
 
Nas questões 8 a 11, considere a função 𝒉(𝒙) = 𝒙
𝟖
𝟓. 
Questão 8 [0,7 pt] 
Determine e justifique o domínio da função ℎ. Dê e justifique a paridade da função ℎ. 
Dar a paridade de uma função significa responder se a função é PAR, ÍMPAR ou nenhuma delas. Justificar a paridade 
significa verificar as duas condições da definição de função par e função ímpar. 
Resolução: 
Domínio: ℎ(𝑥) = 𝑥
8
5 = √𝑥8 
5
 . Como o índice da raiz é ímpar, não há restrição para o radicando, 
portanto o domínio são todos os reais. Ou seja, 𝐷𝑜𝑚(ℎ) = ℝ. 
Paridade: O domínio satisfaz a primeira condição da definição de função PAR e de função ÍMPAR, 
pois para todo 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(ℎ) = ℝ , −𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(ℎ) = ℝ , ou seja, o domínio da função é simétrico em 
relação à origem da reta numérica. 
Verificando a segunda condição da definição para todo 𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚(ℎ) = ℝ : 
ℎ(−𝑥) = (−𝑥)
8
5 = √(−𝑥)8
5
= √𝑥8 
5
= 𝑥
8
5 = ℎ(𝑥). Portanto, a função ℎ é PAR. 
 
Questão 9 [0,6 pt] 
Considerando as propriedades das funções potência de expoente racional que estudamos, descreva 
o crescimento da função ℎ e descreva a concavidade do seu gráfico no intervalo 𝐼 = (0,∞). 
Resolução: 
A função ℎ é crescente no intervalo (0,∞) pois o expoente 
8
5
> 0. 
O gráfico da função ℎ tem concavidade para cima no intervalo (0,∞), pois quando o expoente é 
maior do que 1, o gráfico da função tem o mesmo tipo de comportamento da função 𝑦 = 𝑥2. 
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Questão 10 [0,8 pt] 
Esboce o gráfico da função ℎ. Esboce no mesmo sistema de coordenadas as retas de equações 𝑦 = 𝑥 
e 𝑦 = −𝑥. Determine a interseção do gráfico com a reta 𝑦 = 𝑥. Atenção, no esboço desse gráfico 
será considerada a coerência com as respostas das questões 8 e 9. 
Resolução: 
Interseção do gráfico com a reta 𝑦 = 𝑥: 
Para 𝑥 ≠ 0, 𝑥
8
5 = 𝑥 ⟺ 
𝑥
8
5
𝑥
= 1 ⟺ 𝑥
8
5
−1 = 1 ⟺ 𝑥
3
5 = 1 ⟺ 𝑥 = 1, e portanto, 𝑦 = 1. 
Para 𝑥 = 0, 0
8
5 = 0. 
Portanto as interseções do gráfico e da reta são os pontos (0,0) e (1,1). 
Pela Questão 6, para𝑥 > 0, a função é crescente e o seu gráfico 
tem concavidade para cima. 
Pela Questão 5 a função é PAR, logo o gráfico da função ℎ é 
simétrico em relação ao eixo 𝑦. 
Para 𝑥 > 1, o gráfico de ℎ situa-se acima da reta 𝑦 = 𝑥. 
Para 0 < 𝑥 < 1, o gráfico de ℎ situa-se abaixo da reta 𝑦 = 𝑥. 
 
Questão 11 [0,4 pt] 
Observe o gráfico da função ℎ esboçado na questão 10 e escreva a seguinte lista de valores em 
ordem crescente: 
2; 2
8
5; 1; 
1
2
; (
1
2
)
8
5
; 0 
Resolução: 
Observando o gráfico, (
1
2
)
8
5
< ( 
1
2
)
1
 ⟹ (
1
2
)
8
5
<
1
2
 e 21 < 2
8
5 ⟹ 2 < 2
8
5 . 
Logo, considerando 𝑥 ≥ 0, a ordem crescente é: 0; (
1
2
)
8
5
; 
1
2
; 1; 2; 2
8
5 .