PC_2017-2_AD1-Q2_GABARITO

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AD1-Q2 – 2017-2 – Gabarito Pré-Cálculo 
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CEDERJ 
Gabarito da Questão 2 da Avaliação a Distância 1 
Pré-Cálculo 
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Questão 2 [5,0 pontos]: 
(a) [valor: 2,0] Considere as funções 𝑔1(𝑥) = (𝑥 − 2)
2 −2 e 𝑔2(𝑥) = (|𝑥| − 2)
2 − 2. 
(a.1) Encontre o domínio da função 𝑔1(𝑥) = (𝑥 − 2)
2 −2. Encontre os pontos em que o gráfico da 
função 𝑦 = 𝑔1(𝑥) corta os eixos coordenados. Encontre o vértice dessa parábola. 
Esboce o gráfico da função 𝑔1. Explique a construção desse gráfico. Sem explicação o gráfico não 
será considerado. 
Observando o gráfico da função 𝑦 = 𝑔1(𝑥) , diga qual é a sua imagem . 
RESOLUÇÃO: 
(a.1) A função 𝑔1(𝑥) = (𝑥 − 2)
2 −2 é um polinômio e portanto está definida para todos os 
reais. Logo, 𝐷𝑜𝑚( 𝑔1) = ℝ . 
Interseção com o eixo 𝒙: 
Fazendo 𝑦 = 0 : 
(𝑥 − 2)2 −2 = 0 ⟺ (𝑥 − 2)2 = 2 ⟺ √(𝑥 − 2)2 = √2 ⟺ |𝑥 − 2| = √2 ⟺ 
𝑥 − 2 = −√2 ou 𝑥− 2 = √2 ⟺ 𝑥 = 2 − √2 ou 𝑥 = 2 + √2 . 
O gráfico da função 𝑦 = 𝑔1(𝑥) corta o eixo 𝒙 nos pontos (2− √2 , 0) e (2 +√2 , 0) 
Interseção com o eixo 𝒚: 
Fazendo 𝑥 = 0 : 
 𝑔1(0) = (0 − 2)
2 − 2 = 4− 2 = 2. O gráfico da função 𝑦 = 𝑔1(𝑥) corta o eixo 𝒚 no ponto (0 ,2). 
A função 𝑔1(𝑥) = (𝑥 − 2)
2 −2 está escrita na sua forma canônica. 
Da forma canônica [𝑦 = 𝑎. (𝑥 − ℎ)2 −𝑘] concluímos que o gráfico da função 𝑔1(𝑥) =
1. (𝑥 − 2)2 −2 é uma parábola com concavidade para cima (𝑎 = 1 > 0) , vértice 𝑉(2 ,−2) . As 
raízes dessa parábola, como calculado acima, são 𝑥 = 2 − √2 ou 𝑥 = 2 + √2 
 
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Observando o gráfico da função 𝑦 = 𝑔1(𝑥) , concluímos que Im( 𝑔1) = [−2 ,+∞). 
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(a.2) Esboce o gráfico de 𝑔2(𝑥) = (|𝑥| − 2)
2 − 2, usando uma transformação no gráfico da 
função 𝑔1(𝑥). Descreva essa transformação em palavras. 
Encontre os pontos em que o gráfico da função 𝑦 = 𝑔2(𝑥) corta os eixos coordenados. 
Observando o gráfico da função 𝑦 = 𝑔2(𝑥) , diga qual é a sua imagem . 
 𝑔1(𝑥) = (𝑥 − 2)
2 −2 
𝑀𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑥:
𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑟 𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥≥0 𝑒 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑡𝑖𝑟 𝑒𝑠𝑠𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜
 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦
⇒ 𝑔2(𝑥) = (|𝑥| − 2)
2 −2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Observamos que o gráfico da função 𝑦 = 𝑔2(𝑥) corta o eixo 𝒚 no ponto (0 ,2). O gráfico da função 
𝑦 = 𝑔2(𝑥) corta o eixo 𝒙 nos pontos (−2− √2 ,0) , (−2 +√2 , 0) , (2 − √2 ,0) ,
(2 + √2 , 0). 
Observando o gráfico da função 𝑦 = 𝑔2(𝑥) , concluímos que Im( 𝑔2) = [−2 ,+∞). 
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(b) [valor: 2,0] Considere as funções 𝑓(𝑥) = −√ 𝑥 + 2 + 2 , ℎ(𝑥) = √ 4 − (𝑥 + 4)2 − 2. 
(b.1) Sabendo que o gráfico da função ℎ(𝑥) = √ 4 − (𝑥 + 4)2 − 2 é parte de uma curva 
conhecida, esboce o gráfico da função 𝑦 = ℎ(𝑥) . Explique a construção desse gráfico identificando 
a curva que dá origem a ele. 
Temos que: 
𝑦 = √ 4 − (𝑥 + 4)2 − 2 ⟺ 𝑦 + 2 = √ 4 − (𝑥 + 4)2 
 
𝐸𝑙𝑒𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑜
 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜
⇒ (𝑦 + 2)2 = (√ 4 − (𝑥 + 4)2 )
2
 ⟹ (𝑦 + 2)2 = 4 − (𝑥 + 4)2 ⟹ 
(𝑥 + 4)2 + (𝑦 + 2)2 = 4 . 
A equação (𝑥 + 4)2 + (𝑦+ 2)2 = 4 define um círculo 
centrado no ponto 𝐶(−4,−2) e raio 𝑅 = 2. 
 
 
Podemos observar que 
√ 4 − (𝑥 + 4)2 ≥ 0 ⟹ √ 4 − (𝑥 + 4)2 − 2 ≥ 0 −
2 ⟹ ℎ(𝑥) ≥ −2 ,para todo 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(ℎ) 
Assim, o gráfico da função ℎ(𝑥) = √ 4 − (𝑥 + 4)2 − 2 é 
a parte do círculo acima, cujos pontos têm ordenada 
 𝑦 = ℎ(𝑥) ≥ −2. É o semicírculo acima da reta 𝑦 = −2 . 
 
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(b.2) Encontre o domínio da função 𝑓(𝑥) = −√ 𝑥+ 2 + 2 . Encontre os pontos em que o gráfico 
da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) corta os eixos coordenados. 
Esboce o gráfico de 𝑓(𝑥) = −√ 𝑥+ 2 + 2 . Explique a construção do gráfico da função 𝑓 usando 
transformações em gráfico (translações, reflexões...) a partir do gráfico da função 𝑦 = √ 𝑥 . 
Descreva essas transformações em palavras. 
Esboce os gráficos transformados a partir do gráfico da função 𝑦 = √ 𝑥 até chegar ao gráfico da 
função 𝑦 = 𝑓(𝑥) . 
Observando o gráfico da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) , diga qual é a sua imagem . 
Domínio da função 𝒇(𝒙) = −√ 𝒙+ 𝟐 + 𝟐 . 
A única restrição que a expressão −√ 𝒙+ 𝟐 + 𝟐 impõe é que o radicando 𝑥 + 2 seja positivo 
ou nulo. 
𝒙 + 𝟐 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≥ −2 
Logo, 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = [−2 ,+∞) 
Interseção com o eixo 𝒙: 
Fazendo 𝑦 = 0 : 
−√ 𝑥 + 2 + 2 = 0 ⟺ √ 𝑥+ 2 = 2 
𝐸𝑙𝑒𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑜
 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜
⇒ ( √ 𝑥 + 2 )
2
= 22 ⟹ 𝑥 + 2 = 4 ⟹ 𝑥 = 2 . 
Como elevamos ao quadrado, é preciso testar se 𝑥 = 2 é solução da equação inicial. 
Fazendo 𝑥 = 2 em −√ 𝑥+ 2 + 2 : 
−√ 2+ 2 + 2 = −√ 4 + 2 = −2 + 2 = 0. Logo, 𝑥 = 2 é solução da equação −√ 𝑥+ 2 + 2 = 0 . 
O gráfico da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) corta o eixo 𝒙 no ponto (2 , 0) . 
Interseção com o eixo 𝒚: 
Fazendo 𝑥 = 0 : 
𝑓(0) = −√0+ 2 + 2 = −√2 + 2 . O gráfico da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) corta o eixo 𝒚 no ponto 
(0 ,−√2 + 2 ). 
 
Explicando a construção do gráfico da função 𝑓 
𝑦 = √ 𝑥 
𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
⇒ 𝑦 = √ 𝑥+ 2 
𝑅𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 
𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑜 
𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
⇒ 𝑦 = −√ 𝑥 + 2 
𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
⇒ 𝑓(𝑥) = −√ 𝑥 + 2 + 2 
 
 
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𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
⇒ 
 
 
 
 
𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
⇒ 
𝑅𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 
𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑜 
𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
⇒ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observando o gráfico da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) , concluímos que 𝐼𝑚(𝑓) = (−∞ ,2]. 
 
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(b.3) Esboce o gráfico da função 𝑦 = 𝑟(𝑥): 
 𝑟(𝑥) = {
ℎ(𝑥) 𝑠𝑒 − 6 ≤ 𝑥 ≤ −2 
 𝑓(𝑥) 𝑠𝑒 𝑥 > −2 
= {
√ 4− (𝑥 + 4)2 − 2 𝑠𝑒 − 6 ≤ 𝑥 ≤ −2
−√ 𝑥 + 2 + 2 𝑠𝑒 𝑥 > −2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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(c) [valor: 1,0] 
(c.1) Esboce em um mesmo par de eixos coordenados os gráficos das funções 
𝑓(𝑥) = −√ 𝑥 + 2 + 2 , 𝑔1(𝑥) = (𝑥 − 2)
2 −2 , para 𝑥 ≤ 2 e 𝑦 = 𝑥 . 
Indique nos gráficos os pontos onde os gráficos cruzam os eixos coordenados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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(c.2) Encontre a expressão de cada função composta,na forma mais simples possível: 
 (𝑓 ∘ 𝑔1)(𝑥) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≤ 2 e ( 𝑔1 ∘ 𝑓)(𝑥) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≥ −2 
 
Compondo: 
(𝑓 ∘ 𝑔1)(𝑥) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≤ 2 
(𝑓 ∘ 𝑔1)(𝑥) = 𝑓( 𝑔1(𝑥))= 𝑓((𝑥 − 2)
2 −2 ) = −√ (𝑥 − 2)2 − 2 + 2 + 2 = −√ (𝑥− 2)2 + 2 = 
- |𝑥 − 2| + 2 = −(−(𝑥 − 2))+ 2 = 𝑥. 
Aqui usamos o fato de |𝑥 − 2| = −(𝑥 − 2) , pois 𝑥 ≤ 2 , ou seja , 𝑥 − 2 ≤ 0. 
( 𝑔1 ∘ 𝑓)(𝑥) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≥ −2 
( 𝑔1 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔1(𝑓(𝑥)) = 𝑔1(−√ 𝑥+ 2 + 2) = (−√ 𝑥+ 2 + 2 − 2)
2
− 2 = 
(−√ 𝑥 + 2 )
2
−2 = 𝑥 + 2 − 2 = 𝑥 
 
Logo (𝑓 ∘ 𝑔1)(𝑥) = 𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≤ 2 , e ( 𝑔1 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≥ −2 . 
 
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