teste para alunos LABE

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**Explicação:** Esta é a representação direta da unidade imaginária. 
 
### Problema 43 
Qual é o resultado de \( \left(\frac{1 + i}{1 - i}\right)^2 \)? 
a) 2 
b) \( -2 \) 
c) \( 1 + i \) 
d) \( 0 \) 
**Resposta:** b) \( -2 \) 
**Explicação:** A simplificação de \( \left(\frac{(1 + i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)}\right)^2 \) leva a \( 
-2 \). 
 
### Problema 44 
Qual é a magnitude de \( z_1 = 3 + 4i \) e \( z_2 = -3 + 4i \)? 
a) \( 1 \) 
b) \( 10 \) 
c) \( 5 \) 
d) \( 6 \) 
**Resposta:** c) \( 5 \) 
**Explicação:** A magnitude de \( z_1 \) é \( 5 \) e similar para \( z_2 \). 
 
### Problema 45 
Qual é a forma polar de \( z = -1 + i\sqrt{3} \)? 
a) \( 2e^{i\frac{2\pi}{3}} \) 
b) \( 2e^{i\frac{5\pi}{3}} \) 
c) \( \sqrt{3}ei \) 
d) \( 2e^{-i\frac{\pi}{3}} \) 
**Resposta:** a) \( 2e^{i\frac{2\pi}{3}} \) 
**Explicação:** O módulo é \( 2 \) e o argumento \( \frac{2\pi}{3} \). 
 
### Problema 46 
Qual é o resultado de \( (1 + i)(1 - i) \)? 
a) 2 
b) 0 
c) 1 
d) -1 
**Resposta:** a) 2 
**Explicação:** O produto é \( 1 - (-1) = 1 + 1 = 2 \). 
 
### Problema 47 
Qual é a solução de \( z^2 + 4z + 8 = 0 \)? 
a) \( -2 \pm 2i \) 
b) \( -2 + 2i \) 
c) \( 2 - 2i \) 
d) \( -2 - 2i \) 
**Resposta:** a) \( -2 \pm 2i \) 
**Explicação:** Usamos Bhaskara, obtendo as raízes. 
 
### Problema 48 
Determine \( z_1 - z_2 \) se \( z_1 = 2 + 3i \) e \( z_2 = 1 - i \). 
a) \( 3 + 4i \) 
b) \( 1 + 4i \) 
c) \( 1 + 2i \) 
d) \( 1 + 5i \) 
**Resposta:** c) \( 1 + 4i \) 
**Explicação:** A diferença \( (2 + 3i) - (1 - i) = 1 + 4i \). 
 
### Problema 49 
Qual é a forma polar de \( -3 + 4i \)? 
a) \( \sqrt{25}(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4}) \) 
b) \( 5\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right) \) 
c) \( \sqrt{13}(\cos\pi + i\sin\pi) \) 
d) \( 5\left(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4}\right) \) 
**Resposta:** d) \( 5\left(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4}\right) \) 
**Explicação:** O módulo é \( 5 \) e o argumento das partes imaginárias e reais leva ao 
ângulo mencionado. 
 
### Problema 50 
Escolha a forma retangular de \( z = 5e^{i\frac{\pi}{6}} \). 
a) \( \frac{5\sqrt{3}}{2} + \frac{5}{2} i \) 
b) \( 5 + 0i \) 
c) \( \frac{5}{2} + \frac{5\sqrt{3}}{2} i \) 
d) \( 0 - 5i \) 
**Resposta:** c) \( \frac{5}{2} + \frac{5\sqrt{3}}{2} i \) 
**Explicação:** A forma reta resulta na separação das partes real e imaginária. 
 
### Problema 51 
Qual é a forma retangular de \( 1 + i\tan(\frac{\pi}{4}) \)? 
a) \( 1 + i \) 
b) \( 1 + 0 \) 
c) \( 1 + \frac{\pi}{4} i \) 
d) \( 0 + 1i \) 
**Resposta:** a) \( 1 + i \) 
**Explicação:** \( \tan(\frac{\pi}{4}) = 1 \), assim \( z = 1 + i \). 
 
### Problema 52 
Determine \( |2 + 3i|^2 \). 
a) 13 
b) 5 
c) 25 
d) 10 
**Resposta:** a) 13 
**Explicação:** \( |2 + 3i|^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13 \).