APG feito a mao APG

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31. Qual é a forma polar de \( z = -2 - 2i \)? 
 a) \( 2\sqrt{2} e^{-i\frac{3\pi}{4}} \) 
 b) \( 2\sqrt{2} e^{-i\frac{5\pi}{4}} \) 
 c) \( 2 e^{i\frac{\pi}{4}} \) 
 d) \( \sqrt{8} e^{i\frac{3\pi}{4}} \) 
 Resposta: b) \( 2\sqrt{2} e^{-i\frac{5\pi}{4}} \) 
 Explicação: Calculamos o módulo: \( |z| = 2\sqrt{2} \) e o argumento: \( \tan^{-1}(1) + \pi 
\). 
 
32. Se \( z = 1 + \sqrt{3}i \), qual é \( z^2 \)? 
 a) \( -2 + 2\sqrt{3}i \) 
 b) \( -2 - 2\sqrt{3}i \) 
 c) \( -2 + \sqrt{3}i \) 
 d) \( 4 \) 
 Resposta: a) \( -2 + 2\sqrt{3}i \) 
 Explicação: Usamos \( (1 + \sqrt{3}i)^2 = 1 + 2\sqrt{3}i - 3 = -2 + 2\sqrt{3}i \). 
 
33. Qual é \( z \) se \( z^3 = 8 \)? 
 a) \( 1 \) 
 b) \( 2 \) 
 c) \( 3 \) 
 d) \( 4 \) 
 Resposta: b) \( 2 \) 
 Explicação: A raiz cúbica de \( 8 \) é \( 2 \). 
 
34. Determine \( z = e^{i\pi/4} \) na forma retangular. 
 a) \( 1 \) 
 b) \( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i \) 
 c) \( 2 + 2i \) 
 d) \( -1 + i\sqrt{3} \) 
 Resposta: b) \( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i \) 
 Explicação: Usamos \( \cos(x) + i\sin(x) \) para expressar como \( \frac{1}{\sqrt{2}} + 
\frac{1}{\sqrt{2}}i \). 
 
35. Se \( z = 3 - 4i \), qual é \( \overline{z^2} \)? 
 a) \( 7 - 24i \) 
 b) \( 7 + 24i \) 
 c) \( -7 - 24i \) 
 d) \( -7 + 24i \) 
 Resposta: a) \( 7 - 24i \) 
 Explicação: \( z^2 = (3 - 4i)^2 = 9 - 24i - 16 = -7 - 24i \), o conjugado é \( 7 - 24i \). 
 
36. O que é \( z^4 - 1 = 0 \)? 
 a) \( 1, -1 \) 
 b) \( 0, 1, -1, 2 \) 
 c) \( 1, i, -1, -i \) 
 d) \( i, -\sqrt{2} \) 
 Resposta: c) \( 1, i, -1, -i \) 
 Explicação: As raízes da equação \( z^4 = 1 \) são encontradas com \( \text{cis} \). 
 
37. Qual é a soma das raízes da equação \( z^2 + 5 = 0 \)? 
 a) \( 0 \) 
 b) \( 5 \) 
 c) \( 10 \) 
 d) \( -5 \) 
 Resposta: a) \( 0 \) 
 Explicação: As raízes são \( z = \sqrt{5}i \) e \( z = -\sqrt{5}i \); \( \sqrt{5}i - \sqrt{5}i = 0 \). 
 
38. Se \( z_1 = 1 + 2i \) e \( z_2 = 3 + 4i \), qual é o valor de \( \overline{z_1 z_2} \)? 
 a) \( 7 + 10i \) 
 b) \( 7 - 10i \) 
 c) \( 10 + 10i \) 
 d) \( 10 - 7i \) 
 Resposta: b) \( 7 - 10i \) 
 Explicação: Primeiro, calculamos \( z_1 z_2 = (1 + 2i)(3 + 4i) = 3 + 4i + 6i - 8 = -5 + 10i \). O 
conjugado é \( -5 - 10i \). 
 
39. Determine \( |z - 1| \) quando \( z = 3 + 4i \). 
 a) 2 
 b) 3 
 c) 4 
 d) 5 
 Resposta: d) 5 
 Explicação: \( |(3 + 4i) - 1| = |2 + 4i| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} 
\). 
 
40. Calcule \( z^2 + 1 \) para \( z = -1 + i\sqrt{3} \). 
 a) 2 
 b) 0 
 c) -2 
 d) 1 
 Resposta: a) 2 
 Explicação: \( z^2 = (-1 + i\sqrt{3})^2 = 1 - 2i\sqrt{3} - 3 = -2 - 2i\sqrt{3} + 1 \). 
 
41. O que é \( z = 3 \text{cis} \pi + i \)? 
 a) \( -3 - i \) 
 b) \( 0 \) 
 c) \( -3 + i \) 
 d) \( 3 + i \) 
 Resposta: a) \( -3 - i \) 
 Explicação: \( z = 3(-1) + i = -3 - i \). 
 
42. Se \( |z| = 3 \) e \( \arg(z) = \frac{\pi}{3} \), qual é a forma retangular de \( z \)?