Atps_calculo_3

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Introdução
A integral é uma ferramenta matemática que permite o cálculo de áreas mais facilmente, que vem sendo uma dor de cabeça para os matemáticos desde os problemas das quadraduras e para os físicos que usavam este conceito, de áreas, em diversas situações. Faltava às duas ciências um modo prático de encontrar trabalhar com esta grandeza, em especial sua mensuração.
Neste trabalho que tem como objetivo encontrar a quantidade total mensal de óleo, estimada pelos engenheiros da Petrofuels, que poderá ser extraído de um poço de petróleo recém-descoberto, será utilizados os vários conceitos de integral: definida e indefinida, integração por substituição e integração por partes e cálculo de área.
?
ETAPA 1
Integral Definida. Integral Indefinida.
Passo 1
Façam um levantamento sobre a história do surgimento das integrais e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a pesquisa realizada.
Sobre a Integral e seus elementos.
A integral é uma ferramenta matemática que permite o cálculo de áreas mais facilmente, que vem sendo uma dor de cabeça para os matemáticos desde os problemas das quadraduras e para os físicos que usavam este conceito, de áreas, em diversas situações. Faltava às duas ciências um modo prático de encontrar trabalhar com esta grandeza, em especial sua
mensuração.
A história da matemática mostra os desafios de se encontrar as quadraduras de certos objetos, os métodos desenvolvidos nestes desafios desenvolveram a arquitetura, a agrimensura, a engenharia e a própria matemática, mas continuaram a ser um desafio que só foi equacionado com o desenvolvimento da ideia de integral.
A lei das áreas de Kepler, para a astronomia, era uma ideia que para ser comprovada necessitava de uma ferramenta que pudesse calcular com precisão as mesmas. Newton que trabalhou com estas leis e que ajudou a desenvolver o cálculo, valeu-se das integrais para compreender estes fenômenos e relacioná-los com a gravidade.
Para a matemática, para a física, arquitetura, ou qualquer ramo que precise de valores rápidos e preciso de áreas, a integral é a solução mais elegante e pratica que temos.
Chamamos de primitiva ou antiderivada, a toda função F de f(x) no intervaloI se F’(x)=f(x) para todo x em I.
Exemplo: Quem é uma primitiva função f(x)=4x³ ?
Conhecendo-se a regra básica de derivação da potência, tem-se que F(x)=x4.
Além de F1(x)=x³, note que F2(x)=x³+8 também é uma primitiva de f, assim com F3(x)=x³-3.
A família de todas as primitivas de f(x)=4x³ é representada por G(x)=x³+C, onde C representa genericamente uma constante.
A integral é ainversa da derivada e podemos usar a seguinte notação:
???f (x) dx = F (x) + C? 
Sendo que:
ò é o sinal de integração.
f(x) é o integrando.
d(x), x é a variável de integração.
C é a constante de integração.
Temos as seguintes propriedades para a integração:
???cf(x)dx=? ???f(x)dx? 
???[f(x)+g(x)]dx=? ???f(x)dx+???g(x)dx?? 
???[f(x)-g(x)]dx=? ???f(x)dx-???g(x)dx?? 
d/dx[???f(x)dx]=f(x)? 
Se constante multiplica a função a ser integrada, esta pode ser isolada, multiplicando apenas o resultado final da integração, no caso de integral de soma ou subtração de funções, podemos resolver as integrais de cada função e depois resolver a soma ou subtração. A derivada de uma integral dá como resultado o integrando.
?Área=lim??(p(P)?0)??_(K=1)^n??f(?ck)(xk-xk-1)=?_a^b?f(x)dx
A integração de uma função contínua f(x) em intervalos conhecidos nos revela a área da figura formada entre a função e o eixo x.
Se a função f for contínua no intervalo [a,b] e se F for uma primitiva de f no intervalo [a,b], então:
?_a^b??f(x)dx=F(b)-F(a)?
Passo 2
Desafio A
Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de: ???"(" "a³" /"3" ? "+" "3" /"a³" "+" "3" /"a" ")" da?
F(a)=12a 4- (3a^(-2))/2+ln|3a|+C
F(a)= (a^4 )/12 - 3/(2a^2 ) +3ln|a|+C
F(a)= (a^4 )/12 - 3/(3a^2 ) - 3ln|a|+C
F(a)=12a4 + 3/(2a^2 ) +ln|a|+C
F(a)= a4 + 3/(2a^2 )+3ln|a|+C
Solução
???"(" "a³" /"3" ? "+" "3" /"a³" "+" "3" /"a" ") " 
???"(a³." "1" /"3" ? ")+" ("3." "a" ^"-3" )"+" ("3." "1" /"a" ) 
???(("a" ^"3+1" /"3+1" " . " "1" /"3" "+C" )"+" (?"3.a" ?^"-3+1" /"-3+1" "+C" )"+" ("3.ln|a|+C" )@" " ) 
??("a" ^"4" /"4" "." "1" /"3" "+C" ) " +" (?"3.a" ?^"2" /"-2" "+C" )"+(3.ln|a|+C) " 
??("a" ^"4" "." "1" /"4" "." "1" /"3" "+C" )"+" ("3." "1" /"a" ^"2" "." "1" /"-2" "+C" )"+" ("3.ln|a|+C" ) 
??("a" ^"4" /"12" "+C" )"+" ("3." "1" /?"-2a" ?^"2" "+C" )"+" ("3.ln|a|+C" ) 
???"a" ^"4" /"12" "-" "3" /?"2a" ?^"2" ? "+3.ln|a|+C" , a resposta do desafio é letra “B”, e o número associado é o numero 3.
Desafio B
Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$ 10.000 e um custo marginal de C’(q) =1000 + 50q dólares por pé, onde q é a profundidade em pés. Sabendo que C(0) = 10.000, a alternativa que expressa C(q) , o custo total para se perfurar q pés, é:
C(q)= 10.000+1.000q+25q2
C(q)= 10.000+25q+1.000q2
C(q)= 10.00q2
C(q)= 10.000+25q2
C(q)= 10.000q+q2+q3
Solução
Temos aqui um exemplo de integral definida(aquele em que conhecemos a constante), em dois momentos o exercício nos deu o valor da constante, onde ele afirma:
“custo fixo de U$10.000” e “C(0)=10.000”.
Com base nisto fica fácil dterminar a função
primitiva da integral dada na questão, C’(q)=1.000+50q.
???("1.000+50q" )"dq=1.000q+25" "q" ^"2" "+C" ? 
como sabemos o valor da constante devido as informações do desafio. Logo temos:
??("1.000+50q" )"dq = 1.000q+25q²+10.000" 
Sendo a resposta a letra “A”, e o número associado é o número 0.
Desafio C
No início dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número de anos contados a partir do início de 1990. Um modelo aproximado para C (t) é dado por: C(t)= 16,1.e0,07t. Qual das alternativas abaixo responde corretamente a quantidade de petróleo consumida entre 1992 e 1994?
56,43 bilhões de barris de petróleo
48,78 bilhões de barris de petróleo
39,76 bilhões de barris de petróleo
26,54 bilhões de barris de petróleo
Nenhuma das alternativas
Solução
O total de barris é dado por:
?_"2" ^"4" ??"16,1." "e" ^"0,07t" ? "dt" 
|"16,1" .e^0,07t/0,07|_(t=2)^(t=4) 
(16,1/0,07).e^0,07.4-(16,1/0,07).e^0,07.2 
230.e0,07.4 – 230.e0,07.2 
230.e0,28 – 230.e0,14
304,319- 264,562
39,757@39,76.
Logo a resposta é 39,76 bilhões de barris de petróleo, letra”C”, e o número associado é o número 1.
Desafio D
A área sob a curva y="e" ^(x/2) de x=-3 a x=2 é dada por:
4,99
3,22
6,88
1,11
2,22 
Solução
?_"-3" ^"2" ?"e" ^("x" /"2" ) "dx" 
???2e?^(2/2) -?2e?^((-3)/2) 
???"2e - 2." "1" /"e" ^("3" /"2" ) ? 
???"2." ("2,7182" ) "- 2." "1" /?"(2,7182)" ?^("3" /"2" ) ? 
???"5,4364 - 2." "1" /"4,4814" ? 
??"5,4364 - 2.0,2231" 
??"5,4364 - 0,4462" 
4,9902@4,99
Logo a resposta é 4,99, letra “A”, e o número associado é o número 9.
Relatório 1
No desafio A do passo 2, foram feitos os cálculos para se verificar qual era a integral indefinida da função exposta, após obtivemos a resposta e associamos ao número 3 conforme o passo 3 descreve.
No desafio B foi pedido que calculássemos o custo para se perfurar um poço de petróleo, tínhamos uma integral definida, pois conhecíamos a constante, após montarmos a integral obtivemos a resposta e associamos ao número 0 conforme o passo 3 descreve.
No desafio C foi pedido que se calculasse e achasse a quantidade de quantidade de petróleo consumida entre os anos de 1992 e 1994, resolvemos a integral definida do problema e obtivemos a resposta e associamos ao número 1 conforme o passo 3.
A resposta que obtemos nos cálculos executados para o desafio D foi a alternativa (a) e associamos ela ao número 9, nesse desafio foi solicitado que fizéssemos um cálculo para descobrir qual valor era dada a área da curva, usamos a regrada substituição para integração, onde chegamos ao valor
final desejado de 4,99 correspondente a alternativa.
A sequência obtida após a associação é de 3019.
ETAPA 2
Integração por substituição. Integração por partes.
Passo 1
Façam um levantamento sobre a história do surgimento das técnicas de integração trabalhadas nesta etapa e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a pesquisa realizada no passo 1.
Sobre a Integração por substituição
O processo de integração não é tão simples quanto o de derivação. Porém, há algumas ideias e técnicas que são facilmente aplicáveis, como a aplicação das propriedades de integração já vistas. Outra técnica muito importante de integração é a Regra da Substituição. Esta regra consiste na aplicação da Regra da Cadeia ao contrário.
Regra da Substituição:
Se F'(x)=f(x), então ?f(u(x))u'(x)dx=F(u(x))+C.
Apesar de sua ideia ser bastante simples, a aplicação da Regra da Substituição não é tão trivial. 
Como você faria para calcular ?2e2x+1dx? Antes de vermos como faremos para aplicar a regra, falaremos um pouco sobre as diferenciais, pois eles podem facilitar a aplicação da Regra da Substituição. 
Entendemos as diferenciais como os símbolos dx, dy ou du, que aparecem nas notações de derivadas, dudx, e de integrais ?f(x)dx. Podemos tratá-los como símbolos que podem ser manipulados
algebricamente, ou seja, podem ser multiplicados, divididos, ou, principalmente, "cancelados" em algumas operações: du=dudxdx, ou, equivalentemente, du=u'(x)dx (lembre-se da notação da derivada dudx=u'(x) e "passe o multiplicando").
Exemplos:
u=x2 ? du=2xdx, pois u'(x)=2x
u=x3+7 ? du=3x2dx, pois u'(x)=3x2
O método da Integração por Partes
A Integração por Partes é, basicamente, a volta da Regra do Produto para derivadas. Assim, vamos retomá-la. 
Se quisermos diferenciar uma função do tipo:
f(x)g(x),
Fazemos:
ddx[f(x)g(x)]=f(x)g'(x)+g(x)f'(x).
Mas daí temos que f(x)g'(x)+f'(x)g(x) é uma primitiva para f(x)g(x). Assim, podemos reescrever a fórmula acima em termos de integral indefinida como:
?f(x)g'(x)+g(x)f'(x)dx=f(x)g(x)+C.
Separando a soma e reorganizando os termos obtemos:
?f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-?g(x)f'(x)dx.
Que é a fórmula para a Integração por Partes. A constante C pode ser omitida na linha anterior, pois fica imbutida na integral ?f'(x)g(x)dx.
Uma maneira mais usual de escrever a fórmula de Integração por partes é utilizar a notação diferencial e fazer
u=f(x), du=f'(x)dx e
v=g(x), dv=g'(x)dx,
Daí, obtemos a versão mais difundida da Integração por Partes, como mostra abaixo.
Fórmula para a Integração por Partes
?udv=uv-?vdu.
A Integração por Partes não resolve imediatamente a integral ?udv,
pois é preciso calcular a integral ?vdu para obter uma resposta sem integrais. O grande objetivo da Integração por Partes é trocar uma integral mais difícil de resolver por uma mais fácil.
Para calcular a integral, ?xexdx, citada como exemplo no início deste texto, utilizando a fórmula acima, precisou encontrar cada parte que vemos na fórmula, ou seja, u, du, v e dv.
Passo 2
Considerem as seguintes igualdades:
???(3-t).?(t^2-6t)?^4 dt=(?-(t^2-6t)?^5+C)/10?
?_"0" ^"5" ??"t" /?("t+4" ) "dt=4,67" ? 
Podemos afirmar que:
I e II são verdadeiras
I é falsa e II é verdadeira
I é verdadeira e II é falsa
I e II são falsas
Solução
de I) temos:
(?"(-(" "t" ^"2" "-6t)" ?^"5" "+C)" )/"10" 
(?"(-5(" "t" ^"2" "-6t)" ?^"4" ".(2t-6))" )/"10" 
(?"(-" ("t" ^"2" "-6t" )?^"4" ".(2t-6))" )/"2" 
-(t²-6t)4.(t-3)
Correta afirmativa.
de II) temos:
u= t+4
t=u-4
du=dt
?_"o" ^"5" ?"(u-4.du)" /?("4" ) 
?_o^5??((u.du))/?u-?_0^5?((4.du))/?u? 
?_0^5??u/?u.?u/?u.du-?_0^5??4/?u.?u/?u.du?? 
?_0^5??(u.?u)/u.du-?_0^5??(4.?u)/u du?? 
?_0^5??(u.du-4)-?_0^5???u/u.du? 
2/3.u.?u-8.?u 
2/3.(t+4).?((t+4))-8.?((t-4) ) 
((2/3).9.3-8.3)-((2/3).4.2-8.2) 
(54/3-24/1)-(16/3-32/1) 
((54-72)/3)-((16-48)/3) 
((-18)/3)-((-32)/3) 
(-18)/3+32/3=14/3=4,66666 @ 4,67 
Correta afirmativa.
Logo temos que ambas são verdadeiras, então a
resposta é letra “A”, e o número associado é 4.
Relatório 3
Nesta etapa foram desenvolvidas as técnicas de integração por substituição e integração por partes.
Foi resolvido o desafio proposto da etapa, e ao final da resolução quando encontramos a resposta conforme o passo 3 nos pede, associamos a resposta ao numero 4 , tendo assim o numero de 30194.
ETAPA 3
Cálculo de Área
Passo 1
Façam um levantamento sobre a história do surgimento das desta forma de calcular área gerada por duas ou mais curvas e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas.
Sobre Cálculo de Área
Áreas: talvez esta seja a mais óbvia aplicação para o cálculo de integrais, mas faremos algumas considerações sobre o estudo de áreas sob curvas que são importantes para que sejam evitados erros durante o processo de análise dos valores.
Como consequência direta da definição da integral temos a área sob da curva a ser integrada e o eixo das abscissas , seja a função , considerando que a mesma pode assumir valores tanto positivos como negativos, o fato de este sinal ser determinante para o processo de somatórias consecutivas, próprio da integral definida, devemos considerar no cálculo a possibilidade da diminuição de valores no caso de haver áreas com valores negativos.
Que é arbitrário,
pois depende da função, o que nos leva a concluir que o sinal da função determina o sinal da integral, ou seja, embora o módulo da integral represente a área o eixo das abscissas, o seu valor relativo pode não expressar apenas valores positivos, o que nos indica que temos que analisar o sinal da função antes de calcular qualquer área através da integração.
Os valores do seno entre e são positivos e entre e são negativos! Isto causa uma situação interessante, uma vez que as áreas entre a curva e o eixo dos dois intervalos, quando observadas no plano cartesiano, são idênticas, a área das duas deveria ser o dobro de uma delas, entretanto a integral calculada no intervalo entre e é nula! Esta é a razão pela qual devemos fazer o módulo das integrais em cada intervalo de mudança de sinal, para que os valores das áreas nestes intervalos não se subtraiam, provocando erro no cálculo.
Devemos verificar os intervalos onde a função se torna negativa e inverter o sinal antes de efetuar a soma de áreas em cada intervalo, assegurando assim o correto valor do total de unidades quadradas de área, delimitadas pela curva e o eixo.
Sob diversas situações devemos verificar o comportamento do gráfico, para que possamos determinar a melhor maneira de calcular a área, no caso de áreas delimitadas por duas curvas podemos determinar a área de
cada curva em relação ao eixo e verificar o comportamento das curvas no gráfico para determinar a forma de calcular. Na seção subsequente veremos como determinar área delimitada pela curva área delimitada por duas curvas.
Passo 2
Considerem as seguintes S1(figura 1) e S2(figura 2). As áreas de S1 e S2 são, respectivamente 0,6931u.a. e 6,3863 u.a.
Podemos afirmar que:
I e II são verdadeiras
I é falsa e II é verdadeira
I é verdadeira e II é falsa
I e II são falsas
Solução
S1 = ln(2) -ln(0) = 0,6931u.a.
S2 = 4.ln(4) -4.ln(0) = 5,5452u.a.
Figura 1
y=1/x de x=1 a x=2 
???(1/x)=lnx=ln2-ln1=? 0,6931 u.a. 
Resposta correta
Figura 2
??4/x 
4???1/x=4.lnx=? 4.ln(4)-4.ln(0)= 5,5452u.a. 
Resposta falsa.
Logo temos que, a figura I é verdadeira e a figura II não é verdadeira, portanto a resposta é letra “C”, e o número associado é 8.
Relatório 3
Nesta etapa conseguimos de forma prática a calcular a área entre duas curvas utilizando a teoria das integrais.
Com a resolução do desafio do passo 2, concluímos também o passo 3 e obtivemos por assimilação o número 8 , completando assim a sequência numérica de 301948.
Objetivo do Desafio.
Encontrar a quantidade total mensal de óleo, estimada pelos engenheiros da Petrofuels, que poderá ser extraído de um poço
de petróleo recém-descoberto.
Com as soluções dos
desafios deste trabalho chegamos à sequência numérica 301948, isto quer dizer que pode ser extraído deste poço 301.948 milhões de metros cúbicos de petróleo por mês.
Conclusão
Concluímos este trabalho, que nos mostrou as diversas aplicações das integrais. 
Os cálculos feitos nessas etapas do atps faz com que entendemos e aprendemos melhor como funciona um calculo de integral, usando algumas regras, como de substituição.
E nos ajudou a compreender a importância do manuseio das técnicas da integração, feitas em todas as etapas.
Referências Bibliográficas
HUGHES-HALET, D; GLEASON, Andrew (orgs.); MCCALLUM, William G (orgs.) et al.Cálculo de Uma Variável. 3ª ed. Rio de Janeiro: LTC Livros Técnicos e científicos, 2004, v.1.
http://portal.virtual.ufpb.br/bibliotecavirtual/files/calculo_diferencial_e_integral_ii_1361970429.pdf. Acessado em 20/11/2013.
http://ecalculo.if.usp.br/historia/historia_integrais.htm. Acessado em 20/11/2013.
http://www.visaoportal.com.br/blog/arquivos/14/REVISAO.pdf. Acessado em 20/11/2013.
http://www.brasilescola.com/matematica/area-sob-uma-curva.htm. Acessado em 22/11/2013.
http://minerva.ufpel.edu.br/~sabrina.salazar/calculob.htm. Acessado em 22/11/2013.