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1 Cálculo I - Engenharia Civil/Elétrica (quartas) 2o Semestre/2012 LIMITES – CONTINUIDADE – DERIVADAS Prof. Inêz Zagula Jung Limites Introdução ao cálculo Historicamente, o desenvolvimento do cálculo por Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Leibniz (1646- 1716) resultou da investigação dos seguintes problemas: 1. Encontrar a reta tangente a uma curva num dado ponto da curva (figura 1.1a). 2. Encontrar a área da região plana limitada por uma curva arbitrária (figura 1.1b). Pode aparecer que o problema da reta tangente não esteja relacionado a nenhuma aplicação prática, mas como você verá mais tarde, o problema de se encontrar a taxa de variação de uma quantidade em relação à outra é matematicamente equivalente ao problema geométrico de se encontrar a declividade da reta tangente a uma curva num dado ponto da curva. Foi precisamente a descoberta da relação entre estes dois problemas que alavancou o desenvolvimento do cálculo no século XVII, transformando-o numa ferramenta indispensável para a solução de problemas práticos. Eis aqui alguns exemplos de tais problemas: * Encontrar a velocidade de um objeto. * Encontrar a taxa de variação de uma população de bactérias em relação ao tempo. * Encontrar a taxa de variação do lucro de uma companhia em relação ao tempo. * Encontrar a taxa de variação do faturamento de uma agência de viagens em relação ao gasto da agência em publicidade. O estudo do problema da reta tangente levou à criação do cálculo diferencial, que se baseia no conceito de derivada de uma função. O estudo do problema da área levou à criação do cálculo integral, que se baseia no conceito de antiderivada ou integral de uma função. (A derivada e a integral de uma função estão intimamente relacionadas, como você verá mais a diante.) Tanto a derivada de uma função quanto a integral de uma função são definidas em termos de um conceito fundamental o de limite, nosso próximo tópico. Idéia intuitiva de limite Para definir derivada de uma função, é necessário que se tenha antes uma idéia ao menos intuitiva de limite de função e será suficiente a análise de alguns exemplos para que isso ocorra. Exemplo 1: Dada a função y = x + 2, pode-se observar no gráfico da figura 2.1 quais são os valores que y assume quando x esta próximo de 2. Verifica-se que y assume valores próximos de 4. Diz-se, então, que y tende a 4 quando x tende a 2 ou que o limite da função y é 4 quando x tende a 2 e escreve-se simbolicamente com a notação: 4lim 2 x y x 2- (esquerda) f (x) = x + 2 x 2+ (direita) f (x)= x+ 2 1,5 2,5 1,8 2,2 1,9 2,1 1,99 2,01 1,9999 2,001 2 Exemplo 2: Dada a função 2 42 x x y , já se pode observar um fato mais interessante quando se tenta determinar o limite de y para x tendendo a 2. No exemplo anterior, x pode assumir o valor 2, pois a função é definida nesse ponto o valor de y, para x = 2, é 4, nada havendo de extraordinário no limite, que coincide com esse valor. Agora, neste exemplo, a situação é diferente. A função não é definida para x = 2 e não se pode calcular o valor de y nesse ponto. Mas pode-se observar que o valor de y, quando x se aproxima de 2, aproxima-se de 4, como no caso anterior, pois as duas funções assumem os mesmos valores aos mesmos pontos, com exceção do ponto x = 2, onde a primeira função é definida e a segunda , não. De fato, a função y = 2 42 x x pode ser escrita na forma 2 22 x xx y e, se x 2, pode ser simplificada, dando origem à função dada. Seu gráfico pode ser visto na figura 2.2. Neste caso, embora y não assuma o valor 4, também se tem: 4lim 2 y x . Exemplo 3: A função y = 2 1 x também tem um ponto, x = 0, para o qual não está definida. Mas observando-se no gráfico da figura 2.3 o que acontece com a função quando x se aproxima de zero, verifica-se que y assume valores cada vez maiores. Exprime-se essa idéia, dizendo que y tende a infinito quando x tende a zero ou que o limite de y é infinito quando x tende a zero, e escreve-se: y x 0 lim (limite não existe) x 2- (esquerda) 2 42 x x y x 2+ (direita) 2 42 x x y 1,5 3,5 2,5 4,5 1,6 3,6 2,4 4,4 1,7 3,7 2,3 4,3 1,8 3,8 2,2 4,2 1,9 3,9 2,1 4,1 1,99 3,99 2,01 4,01 1,9999 3,9999 2,001 4,001 3 Exemplo 4: Observe-se, agora, a função Montante de capital de R$ 1.000,00 a 5% ao mês de juros simples, supondo que os juros não são calculados por fração de período. Então, o montante permanece igual por um mês para depois saltar bruscamente para um valor maior e novamente permanecer igual por um mês. A função é M = 1.000 + 50n, onde n é o tempo em meses, e seu gráfico pode ser visto na figura 2.4. O que acontece com os valores de M quando n tem valores próximos de 3? A pergunta não tem uma resposta única. Se n está próximo de 3, mas é menor que 3, M é 1.100. Se n está próximo de 3, mas é maior que 3, M é 1.150. Nesse caso, diz-se que não existe o limite de M quando n tende a 3 ou, simbolicamente: não existe M n 3 lim Exemplo 5: Seja a função x y 1 que não é definida para x = 0 e observa-se , no gráfico da figura 2.5, qual é o limite de y quando x tende a zero. Novamente, acontece o mesmo que se observou no caso anterior. Se x < 0, os valores de y são cada vez menores, quando x tende a zero e diz-se que y tende a . Se x > 0, os valores de y ficam cada vez maiores à medida que x se aproxima de zero, isto é, y tende a . Como a resposta não é única, diz-se também nesse caso que não existe o limite de y quando x tende a zero, isto é, não existe .lim 0 y x Figura 2.5 4 Exemplo 6: Suponha-se, agora que há interesse em determinar o limite de uma função quando x tende a , isto é, assume valores cada vez maiores ou menores ou quando x tende a - , isto é, assume valores cada vez menores. Observe, por exemplo, o gráfico da função f(x) = 3 2 1 x reproduzindo na figura 2.6 O gráfico aproxima-se cada vez mais da reta y = 3, quando x cresce, e assume valores cada vez maiores, ou seja, quando x tende a . Quando x tende a - , o gráfico aproxima-se também de 3. .....................)(lim xf x .....................)(lim xf x Observe o que acontece quando x tende a –2 pela direita e pela esquerda. .......................)(lim .......................)(lim .......................)(lim 2 2 2 xf xf xf x x x Exemplo 7: Seja a função representada graficamente, determine os limites observando no gráfico. .....................................................)(lim) .....................................................)(lim) .....................................................)(lim) : 4 xfc xfb xfa Calcule x x x Figura 2.6 x y 5 Exemplo 8 – Uma curiosidade sobre limites: Calculando, com o auxilio na calculadora, o valor da função: x x y 1 1 para x =1, x=10, x=100, x=1000, x = 10000, x=100000, encontram-se respectivamente os valores: y =2; y=2,7937; y = 2,7048; y=2,7181; y=2,7182. A diferença mínima ocorrida no valor de y para os últimos valores atribuídos a x leva a crer que, por mais que x cresça, o valor de y será finito. De fato, já foi provado que esse limite é finito e que seu valor aproximado é de 2,71828. Esse número, é chamado e, é o numero irracional usado como base dos logaritmos naturais. O gráfico dessa função, feito com o auxilio de uma tabela, em que se atribui valores negativos e positivos a x, está reproduzido na figura 2.8. e = x x x 1 1lim Exemplo 9 Para cada uma das funções na fig. 1 determine se )(lim 2 xg x existe. Figura 2.8 6 1) 3 1 x y Exercícios 01 Observe os gráficos de cada uma das funções e determine os limites pedidos, se existirem: ...............................................lim) 3 ya x ...............................................lim) 3 ya x ...............................................lim) 3 ya x b) ....................................................lim 2 y x c) x ylim ...................................................... ................lim) 5 x ya 2) ............lim) 2 yb x ......... yc x 3 lim) ......................... Por quê? 3) Seja f(x) a função definida pelo gráfico: Intuitivamente, encontre se existir: a) ....................................)(lim 2 xf x b) ....................................)(lim 2 xf x c) ....................................)(lim 2 xf x d) ...............)(lim xf x e) ....................................)(lim xf x 7 4) Seja a função y = x 3 2 definida pelo gráfico: Observe o gráfico e calcule, se existir: a) ...............lim y x b) ................lim y x 5) Seja a função y = x2 definida pelo gráfico: Observe o gráfico e calcule, se existir: a) ...............lim y x b) ................lim y x c) ................lim 2 y x LIMITE DE UMA FUNÇÃO Limite de uma função Definição 1. Limite de uma função y = f (x) significa avaliar o comportamento desta quando x aproxima-se de algum valor, sem necessariamente assumi-lo. Definição 2. Dada uma função y = f (x), a teoria dos limites estuda a que valor tende y, a medida em que x tender a um determinado valor xo. Se x xo tanto pela direita como pela esquerda e y tender a um mesmo valor L então dizemos que: lim ( )f x L x x 0 . Exemplos 10.Considere a função 1x 3xx2 )x(f 2 com x 1, analise o comportamento da mesma a medida que a variável x se aproxima de 1. como 5)(lim então 5)(lim5)(lim 1 11 xfxfexf x xx . Observamos que, na medida em que x fica cada vez mais próximo de 1, f(x) torna-se cada vez mais próxima de 5. x 1- f (x) 0,75 4,5 0,9 0,99 0,999 x 1+ f (x) 1,25 5,5 1,1 5,2 1,01 5,02 1,001 5,002 8 Propriedades dos limites: Suponha que lim ( ) lim ( ) x a x a f x L e g x M , então: 1. lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) x a x a x a f x g x f x g x L M 2. lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) x a x a x a f x g x f x g x L M 3. lim . ( ) . lim ( ) . x a x a c f x c f x c L 4. lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) x a x a x a x a f x g x f x g x L M g x 0 5. lim ( ) lim ( ) x a c x a c cg x g x M 6. cclim ax 7. axlim ax 8. bma)bmx(lim ax Determinação do limite de uma função: Quando x a, sendo a um nº real qualquer: A função pode ser algébrica ou fracionária, basta substituir o x pelo valor ao qual ele tende e efetuar. Exemplo 11 Use os teoremas de limites para calcular os seguintes limites: a) lim x x 2 3 1 b) lim x x x 3 2 7 c) lim x x x 0 1 4 d) lim x x 3 2 2 Indeterminações No estudo dos limites devemos considerar operações onde algumas delas recaem em expressões que são chamadas de indeterminações. Expressões como, por exemplo: 0 0 ; 0 ; ; ; 0 0 ; ;1 .0 Assim em diversos limites nos defrontamos com situações de indeterminações do tipo acima e “escapamos” delas através de manipulações algébricas (artifícios algébricos) tais como, por exemplo: 1. Fatorar a função fracionária e simplificar; 2. Dividir numerador pelo denominador ou vice-versa (considera-se o polinômio de maior grau). 3. Usa-se a racionalização no caso de radicais. 9 Convém, antes de darmos novos exemplos, lembrarmos algumas fórmulas de fatoração: I) ))((22 bababa II) 222 )(2 bababa 222 )(2 bababa III) 21 2 xxxxacbxax em que x1 e x2 são as raízes da equação 02 cbxax IV) 2233 babababa 2233 babababa V) Briot-Ruffin nos casos de polinômios com Grau 2, 3, 4,..... Exemplos de Indeterminação quando x tende a um número real. Exemplos (caderno) 1. x2 xx lim 3 0x 2. 1x 3xx2 lim 2 1x 3. 2xx 2x lim 22x 4) 2 4 lim 2 2 x x x 5) 4 23 lim 2 3 2 x xx x 6) 353 142 lim 23 23 1 xxx xxx x 7) x x x 24 lim 0 8) 232 4 lim 2 2 xx x x 8) Exemplo resolvido Seja a função f definida por: f(x) = 13 1 1 232 xse xse x xx Calcule )(lim 1 xf x . Solução: Como no cálculo do limite de uma função, quando x tende a “a”, interessa o comportamento da função quando x se aproxima de “a” e não ocorre com a função quando x = “a”, temos : 1)2(lim 1 )2)(1( lim 1 23 lim)(lim 11 2 11 x x xx x xx xf xxxx 10 LIMITES LATERAIS Ao considerarmos )(lim xf ax estamos interessados nos valores de x em um intervalo aberto contendo a, mas não no próprio a; isto é, em valores de x próximos de a e maiores ou menores que a Definição 01: Seja uma função definida em um intervalo aberto (a, c). Dizemos que um número L é o limite à direita da função f quando x tende para a, e escrevemos .)(lim Lxf ax Definição 02: Seja uma função definida em um intervalo aberto (d, a). Dizemos que um número L é o limite à esquerda da função f quando x tende para a, e escrevemos .)(lim Lxf ax Exemplo: 1) Dada a função )31()( xxf , determinar se possível, )(lim)(lim 33 xfexf xx . Resolução: A função dada só é definida para 3x . Assim, não existe )(lim 3 xf x . Para calcular )(lim 3 xf x , podemos aplicar as propriedades. Temos, 1)01()3(lim1)3(lim1lim31lim)(lim 33333 xxxxf xxxxx O teorema a seguir nos da a relação existente entre limites laterais e limite de uma função. Teorema: Se f é definida em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente no ponto a, então Lxf ax )(lim , se e somente se Lxf ax )(lim e Lxf ax )(lim . Exemplos: 2) Seja 29 22 2,1 )( 2 2 xparax xpara xparax xf . Determinar, se existirem, )(lim)(lim 22 xfexf xx . Esboçar o gráfico da função. 11 Operações envolvendo : No estudo dos limites devemos considerar as operações envolvendo , que não são válidas para cálculos algébricos. (obs: c é um número real) Adição e subtração Multiplicação Divisão Potência c + = c - = - + = - - = - - =indeterminação - c = c . = c . (-) = - . = . (-) = - . 0=indeterminação /c = -/c = - c / = 0 c / 0 = 0/0 = indeterminação / =indeterminação 0 = c c1c 0coc1 0c1c0 c1c 0 c = 0 c 0 0 = 0 = c 0 =1 c 0 0 0 = indeterminação 0= indeterminação 1 = indeterminação Limites no infinito: “x tende ao infinito” Analisamos até este momento limites de funções quando x tende a um determinado valor “a”, observamos que em alguns casos a função é ilimitada, ou seja, tende ao infinito. Passamos a analisar limites de funções quando x tende ao infinito. Por exemplo: a) 1 x x lim x = causa indeterminação, simplificando temos x x x lim x 1 1 = 1 1 1 = 1, ou seja, a medida em que x tende ao infinito, f(x) se aproxima de 1 e temos então uma assíntota horizontal. x f (x) 10 0,9 100 0,99 1000 0,999 10000 0,9999 b) )2( 1 )( x xf .................................... )2( 1 lim xx 12 Limites no infinito Quando x Se a função for racional: substitui-se diretamente na função e observa-se a ocorrência de indeterminações. Nos casos de indeterminação, usamos o seguinte artifício: * Colocar o termo de maior grau em evidência do numerador e denominador, e simplificar. b) Calcular o 52 34 lim x x x e esboçar o gráfico da mostrando as assíntotas. Qual é a tendência da curva quando x tende para + . Qual é a tendência da curva quando x tende para - . Exemplos de Indeterminação quando x tende mais infinito ou menos infinito. Exemplos. (caderno) Exemplo 01) Calcule os seguintes limites: a) 9542lim 23 xxx x b) 1782 9754 lim 2 23 xx xxx x c) 14 52 lim 3 2 x xx x Exemplo: 2) 1 1 lim 2 xx 13 Teorema Se r é um inteiro positivo então (i) 0 1 lim rx x (ii) 0 1 lim rx x Limites infinitos Analisemos agora a seguinte situação: x 1 lim 0x Assim observamos que x 1 lim 0x e x 1 lim 0x , ou seja, x 1 lim 0x . Portanto à medida que x se aproxima de zero, verificamos que a função x 1 não se aproxima de nenhum valor bem definido (ou cresce cada vez mais, ou decresce cada vez mais). Nesse caso dizemos que não existe limite quando x tende à zero da função x 1 . Observação. Quando se afirma que um limite existe, deve ser entendido por isto, que o limite existe e é finito (um número bem definido). Possível confusão surge quando, por exemplo, se escreve a expressão A ax lim . Entretanto, isto não significa que A tende a um número designado por , mas apenas que A torna-se grande, à medida que x tende para a. Deve-se lembrar que não é um número, e não deve ser considerado como tal, ele é apenas um símbolo que representa números grandes. Limites infinitos Seja f uma função definida em todo número no intervalo aberto I contendo a, exceto, possivelmente, no próprio a. Quando x se aproxima de a, f(x) cresce ou decresce ilimitadamente, o que pode ser escrito como: )(lim xf ax ou )(lim xf ax Exemplos a) Seja f a função definida por 2)2( 3 )( x xf , calculando os limites laterais obtemos: 22 )2( 3 lim xx 22 )2( 3 lim xx x 0+ f (x) 1 0,5 0,1 0,0001 0,000001 x 0- f (x) -1 --1-1 -0,5 -2 -0,1 -0,0001 -0,000001 14 b) Seja f a função definida por 1 2 )( x x xh , calculando os limites laterais obtemos: 1 2 lim 1 x x x 1 2 lim 1 x x x Como podemos saber se é + ou - infinito? Estudar o sinal próximo ao valor que x tende. Continuação dos Teoremas: parése ímparérse x ii x i x r x r x rx 1 lim) 1 lim) 1 lim 0 0 0 Em outros casos estudar o comportamento do sinal próximo ao valor que x tende. Exemplos: 1) Calcule: 2 2 )2( 1 lim x x x )36( 6 lim 2 6 x x x 82 3 lim 2 4 xx x x 15 Outros Exemplos (interpretação direta) 1) 1x 1 lim 1x = 0 1 11 1 , portanto não existe limite dessa função. 2) 4x 3 lim 4x = 0 3 44 3 , portanto não existe limite dessa função. 3) 0 3 55 3 5x 3- lim 5x , portanto não existe limite dessa função. Exercícios01 Calcule os limites a seguir. 1) 3x 9x lim 2 3x 2) x3x x6 lim 20x 3) 25x 5x lim 25x 15 54 lim.78lim.612lim.573lim.4 3 3 2 2 25 x x xxxx xxxx 492 1683 lim.10 32 94 lim.9 7 49 lim.8 2 2 4 2 2 3 2 7 xx xx x x x x xxx Respostas: 1) 6 2) -2 3) -1/10 4) 8 5) 7 6) 0 7) ½ 8) 14 9) 6 10) 16/7 Calcule os limites 1) )15(lim 23 1 xxx x R: 8 2) )342(lim 23 1 xxx x R: 4 3) 526:)1224(lim 23 2 Rxxx x 4) 10: 5 45 lim 2 2 2 R x xx x 5) 3: 2 107 lim 2 2 R x xx x 6) 4: 3 32 lim 2 3 R x xx x 7) 3/1: 12 34 lim 5 3 1 R xx xx x 8) 12: 6 36 lim 2 6 R x x x 9) 80: 2 32 lim 5 2 R x x x 10) 2: 27543610 27188 lim 234 234 3 R xxxx xxx x 11) 0: 42 2 lim 2 R x x x 12) 4: 2 4 lim 4 R x x x 13) 4: 42 lim 0 R x x x 14) 4/1: 1 32 lim 1 R x x x 15) 2: 11 lim 0 R x x x 16) 3/4: 2 321 lim 4 R x x x 17) 14/5: 1153 2232 lim 2 2 2 R xx xx x 16 Exercícios 02 A) Calcule os seguintes limites: 1) 2 1 lim xx 2) 2 1 lim xx 3) 8 1 lim xx 4) 53 1 lim xx 5) 2 12 lim x x x 6) 1 lim 2 2 x xx x Respostas: 1) 0 2) 0 3) 0 4) 0 5) 2 6) 1 B) Calcule os limites a) 52 34 x x lim x b) 14 52 lim 3 2 x xx x c) 52 43 2 x x lim x d) 9 4 2 2 x x lim x e) 1 32 2 x xx lim x Resp: 1) a) 2 b) 0 c) 2 23 d) 4 e) inf. C) Calcule quais dos seguintes limites existe. Calcule os limites que existem. a) 6 124 lim 2 6 x xx x b) 6 124 lim 6 x x x a) existe, 8 b) não existe D) Calcule os limites 1) 4x 3 lim x 2) 3 2 lim x x 3) 6xx 3x lim 2x 4) 1xx 5 3 lim 5) 13xxlim 2 x 6) 1x x lim 2 x 7) 2 3 lim 2 xx Respostas: 1) 0 2) Não existe 3) 0 4) 0 5) Não existe 6) Não existe 7) Não existe 17 1) Através do gráfico, determine o limite (se existir) de f(x) quando x tende ao valor indicado abaixo. CASO NÃO EXISTA O LIMITE, EXPLIQUE POR QUÊ. a) _______)(lim 2 xf x b) _______)(lim 3 xf x c) _______)(lim 2 xf x 2) O gráfico de f(x) = 1 1 1 2 x é dado no gráfico, use-o para calcular os limites indicados (se existir). a) _______)(lim 1 xf x b) _______)(lim xf x 3) Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas: )(lim 0 xf x )(lim 0 xf x 2)(lim xf x 2)(lim xf x Respostas: 1) a) Não existe porque limite a esquerda é 2 e a direita é 1. b) O limite é 2, pois a esquerda e a direita o limite é o mesmo valor , ou seja, 2. C) – infinito 2) a) 3/2 b) 1 3) Fazer um gráfico com assíntota horizontal 2 e assíntota vertical 0. 18 Calcule os limites Laterais 1) 6 4 lim 6 xx 2) 6 4 lim 6 xx 3) xx 1 3 lim 1 4) xx 1 3 lim 1 5) x x x 5 lim 0 6) x x x 5 lim 0 7) 1 lim 2 1 x x x 8) 1 lim 2 1 x x x 9) 2 0 1 lim xx 10) 2 0 1 lim xx Respostas: 1) + 2) - 3) - 4) 5) 6) - 7) + 8) - 9) - 10) - Calcule os limites laterais solicitados. 1) 114 12 123 )( xx xse xsex xf )(lim 1 xf x )(lim 1 xf x )(lim 1 xf x 2) 21 20 21 )( 2 xx xse xsex xf )(lim 2 xf x )(lim 2 xf x )(lim 2 xf x 3) 276 21 2132 )( 2 2 xxx xse xsexx xf )(lim 2 xf x )(lim 2 xf x )(lim 2 xf x 4) 3,73 3,1 )( xx xx xf calcule: a) )(lim 3 xf x b) )(lim 3 xf x c) )(lim 3 xf x d) )(lim 5 xf x e) )(lim 5 xf x f) )(lim 5 xf x Esboçar o gráfico da função f(x) (questão 4) 5) 3,7 3,12 )( 2 x xxx xf calcule )(lim 3 xf x Respostas: 1) 1 e 5 não existe limite 2) 1 e -3 não existe limite 3) 1 e 1 existe limite. 4) a) 2 b) 2 c) 2 d) 8 e) 8 5) 8 5) O limite existe e é 4 19 Limites - Exercícios gerais. 1) Se o número de artigos y manufaturados por dia, x dias após o início da produção é dado por: )1(200 1,0 xey . Qual o número de artigos manufaturados por dia, quando a indústria atingir o número máximo de dias de produção? 2) O número de empresas de uma indústria particular é dado pela equação: t tN 75,0)5,0(6)( Onde t é o número de anos desde que a indústria começou. Quantas empresas existirão quando a indústria atingir seu tempo máximo? 3) Os custos de produção de uma companhia são descritos pela função: xexC 02,070100)( onde x é o número de unidades de produção. Determine o custo máximo de produção que esta companhia poderá atingir? 4) Calcule os limites a seguir: a) 25lim 23 2 1 xxx x b) 1 1 lim 4 2 1 x x x c) 2 44 lim 2 2 x xx x d) 1 1 lim 5 0 x x x e) 1 1 lim 4 1 x x x f) 32 65 lim 2 3 0 xx xx x g) 1 1 lim 2 2 1 xx x x h) x x e 1 lim i) 1 2 4lim xx j) x x x e e 1 1 lim l) 2 453 lim 2 2 x xx x m) x x x e e 1 1 lim n) xx e x 1 lim 0 o) 6 54 23 5 lim xx xx x p) x x 1 31lim q) xx x x 2 59 lim 3 2 r) 234 5lim xxx x s) xx x x 23 lim 5 4 5) Calcule os limites laterais abaixo. a) x x x 2 lim 1 b) x x x 4 lim 2 1 c) 9 lim 2 3 x x x 6) Uma empresa tem seu faturamento y (em mil reais) dado pela função a) 6 362 x x y , onde x é o número de unidades vendidas (em 1000 unidades) de um determinado produto. Pergunta-se: a medida que o número de unidades vendidas se aproxima de 6000 unidade, qual o faturamento esperado? 7) Suponha que a função L = x 2 - 5x -115000 represente o lucro de uma empresa (L é dado em u.m. e x em unidades). Determine o valor relativo ao lucro à medida que o número de unidades vendidas se aproxima de 600. Respostas 1) 200 2) 6 3) 100 4) a) 35/8; b) 15/8; c) 0; d) 1; e) 4; f) 2; g) 2; h) 1; i) 4; j) 0; l) 3; m) ; n) 0; o) 0; p) 2; q) 0; r) ; s) 0 5) a) 3; b) 5 ; c) 6) R$ 12000 7) $242000 u.m. 20 CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO Uma função f(x) é contínua em x = a, desde que a seguinte igualdade seja verdadeira. )()(lim afxf ax (1) Para que (1) se sustente, três condições precisam ser satisfeitas: (i) f(a) existe; (ii) ax )x(flim existe; (iii) ax )x(flim = f(a). Se uma ou mais de uma dessas condições não forem verificadas em “a”, a função f será descontínua em “a” Dizemos que uma função é contínua em x = a, se (grosso modo) o gráfico da função não tem quebras (ou pulos) quando ele passa pelo ponto (a, f(a)). Isto é, f(x) é contínua em x = a, se pudermos desenhar o gráfico através do ponto (a, f(a)) sem tirar nosso lápis do papel. Observe as figuras e julgue-as. Teorema: Se as funções f e g forem contínuas em a, então: (a) f + g é contínua em a. (b) f - g é contínua em a. (c) f.g é contínua em a. (d) f /g é contínua em a se g(a) 0 e tem uma descontinuidade em a, se g(a) = 0. 21 “Uma função é dita contínua se ela é contínua em todos os pontos de seu domínio” Exemplos: 1) Se f(x) xxx x xf 2 1 )( 23 2 determine as descontinuidades de f(x). 2) Investigue a continuidade nos pontos indicados: a) 2 4 )( 2 x x xf em x = 2 b) f(x) = x 2 + 2x + 1 em x = 1 c) f(x) = x 2 em x = 1 3) Nos problemas a seguir: (a) trace o esboço do gráfico das funções dadas; (b) use a definição de continuidade e diga se a função é contínua em a. a) 1 12 12 )( xem xsex xsex xf b) 4 42 4 )4( 43 )( 2 xem xse xse x xx xf c) 3 31 3 3 3 )( xem xse xse x x xf d) .3 312 34 )( 2 xem xsex xsex xf e) f(x) = xse xse xse 23 221 24 em x = 2 f) 1 1 13 )( 2 xem xsex xsex xf Exercícios 1) Nos problemas a seguir: (a) trace o esboço do gráfico das funções dadas; (b) use a definição de continuidade e diga se a função é contínua em a. 1. f(x) = 3 39 35 a xsex xsex 2. f(x) = 0a 0xse1 0xse0 0xse1 3. f(x) = 1a 1xsex3 1xsex3 4. f(x) = 1a 1xsex 1xsex2 2 2 23 23 )()82 228 2 )()7 1 12 14 132 )()62 24 24 24 )()5 2 22 2 a xsex xsex xfa xsex xsex xf a xsex xse xsex xfa xsex xse xsex xf 22 Gabarito: 1) D 2) D 3) D 4) C 5) D 6) D 7) C 8) D gráficos abaixo Gabarito Gráficos: 23 Exercícios 02) Determine o ponto ou intervalo de descontinuidade da função, caso exista: 1) y = 4 162 x x 2) x y 2 1 3) x y 2 4) xxxy 223 5) 2 1 x y 6) 1 1 x x y 7) 9 1 2 x y Respostas exercícios 02) 1) x = -4 2) x = 0 3) x = 0 4) Continua para todo real 5) x = 0 6) x = -1 7) [-3, 3] Exercícios 03) Determine se cada função é contínua ou descontínua em cada intervalo dado: 1) f(x) = 24 x em [-2, 2] [2, 3] (-2, 2) e (-1, 5). 2) f(x) = 1 3 x em )1,( (-3, -1) )1,( ),1( ),1[ e [-2, 2] 3) f(x) = 36 6 2 x x em ]6,( ]4,( ),6( ]9,6[ ),7[ 4) 212 123 )( xsex xsex xf em ]2,1[)2,1();1,( e Respostas 03: 1) contínua em [-2, 2] (-2, 2) descontínua em [2, 3] e (-1, 5). 2) Contínua em (-3, -1) )1,( ),1( descontínua em )1,( ),1[ e [-2, 2] 3) Descontínua em todos os intervalos citados. 4) Contínua em ]2,1[)2,1();1,( e 24 Exercícios Complementares sobre Continuidade de uma função Nos problemas a seguir: (a) trace o esboço do gráfico das funções dadas; (b) use a definição de continuidade e diga se a função é contínua em x. 1) f(x) = 0 01 00 02 2 xem xsex xse xsex 2) 3 312 34 )( 2 xem xsex xsex xf 3) 2 24 23 276 )( xem xsex xse xsex xf 4) 2 23 221 24 )( xem xse xse xse xf 5) 2 228 2 )( 2 x xsex xsex xf Resposta EXERCÍCOS Continuidade de uma função 2) 2) i) f(3) = 5 ii) 5)(lim 5)(lim )(lim 3 3 3 xf xf xf x x x Existe limite )(lim 3 xf x , e )(lim 3 xf x = f(3) logo f(x) é contínua em 3. 3) 3) i) f(-2) = 3 ii) 5)(lim 6)(lim )(lim 2 2 2 xf xf xf x x x Não existe limite )(lim 2 xf x , logo f(x) é descontínua em -2. 25 4) 4) i) f(2) = -1 ii) 1)(lim 3)(lim )(lim 2 2 2 xf xf xf x x x Não existe limite )(lim 2 xf x , logo f(x) é descontínua em 2. 5) 5) i) f(2) = 4 ii) 4)(lim 4)(lim )(lim 2 2 2 xf xf xf x x x Existe limite )(lim 2 xf x , e )(lim 2 xf x = f(2) logo f(x) é contínua em 4. 26 DERIVADAS Introduzimos a derivada, considerando primeiro sua interpretação geométrica como inclinação de uma reta tangente a uma curva. Posteriormente discutiremos a equação da reta tangente, derivada calculada por definição (conceito) e as regras de derivação (fórmulas). Em seguida, interpretamos a derivada como taxa de variação. Essa interpretação mostra a sua importância em diversos campos. Por exemplo, em física, a velocidade no movimento retilíneo é definida em termos de derivada, pois é a medida da taxa de variação da distância com relação ao tempo. A taxa de crescimento de bactérias é uma aplicação da derivada em Biologia. A taxa da variação de uma reação química é um tópico de interesse para um químico. Os economistas estão preocupados com conceitos marginais tais como receita marginal, o custo marginal e o lucro marginal, que são taxas de variação. Derivada é uma ferramenta matemática básica usada para calcular a taxa de variação e a inclinação de retas tangentes. DERIVADA COMO MEDIDA DE INCLINAÇÃO Seja y = f(x) a função cujo gráfico está representado pela curva da figura e da qual se quer determinar a inclinação no ponto P (x, y). Localizando o triângulo retângulo na figura podemos concluir que : x y tg 27 A medida que a reta secante torna-se tangente em P(x,y) = ponto genérico, x tende a zero, ou seja, 0x , então teremos o mt (coeficiente angular) da reta tangente que será dado por: x y tg = x xfxf )()( 1 e, xxx 1 isolando xxx 1 trocando em )( 1xf = )( xxf chegamos : )( )()( lim 0 xf x xfxxf x y m x t = derivada da função Assim, se este limite existir, chama-se derivada da função f x f x x f x xx ( ) lim ( ) 0 . A derivada de uma função determina o coeficiente angular de uma reta tangente a uma curva em um ponto qualquer desta curva, e com isso sabemos se a função é crescente ou decrescente neste ponto. Lembrete - Geometria Analítica: Como escrever uma equação da reta geral ou reduzida? Dado um ponto yx, e o coeficiente angular m. Substituir na fórmula: xxmyy e depois, desenvolver a equação podemos deixar na forma de equação reduzida y = mx + n ou geral ax + by + c = 0. Lembre-se que o m (coeficiente angular) é calculado pela derivada. 28 Exemplos: 1) Determine a inclinação da reta tangente à curva y = x 2 + 2x no ponto x = 1, usando a definição. 2) Determine a equação da reta tangente à curva y = x 2 + 2x no ponto x = 1. O processo usado no item anterior parece muito trabalhoso para ser repetido todas as vezes que se precisar derivar uma função. Usando, porém, esse mesmo processo, podem ser deduzidas fórmulas para cada tipo de função, o que facilita sobremaneira o cálculo de derivadas. Essas regras de derivação serão apenas relacionadas aqui, mas não serão demonstradas, uma vez que essas demonstrações são simples e repetitivas e poderiam até ser feitas como exercícios se fossem conhecidas algumas propriedades dos limites. A partir desta definição f x f x x f x xx ( ) lim ( ) 0 determina-se as regras de derivação que determinam da mesma forma o coeficiente angular da reta tangente a um ponto de uma curva, ou seja, o crescimento ou decrescimento (taxa de variação) da curva em qualquer ponto desta curva. Notações: dx dy xfy )( ou dt dy tf )(' 29 Regras de Derivação – Fórmulas de algumas funções Nesta tabela u(x) e v(x) são funções deriváveis e, c, n e a são constantes. 0)1 yCy 9) 2 . v vuvu y v u y 2) 1 yxy ou/ naxy 1. naxny .1 10) )cos(.).cos()sen( uuouuuyuy REGRA DA CADEIA 3) uunyuy nn .. 1 1n 11) )sen(.).sen()cos( uuouuuyuy 4) uaayay uu ).ln(. 1,0 aa 12) )(sec.).(sec)( 22 uuouuuyutgy 5) )ln(. log au u yy ua 13) )(cos.).(cos)(cot 22 uecuouuuecyugy 6) veyey vv . 14) )sec().(.).sec().()sec( uutguouuuutgyuy 7) u u yuy )ln( 15) uuugyuy ).sec(cos).(cot)sec(cos 8) vuvuyvuy ... 16) vuy uuvy v .. )1( + vuu v .ln. (u > 0) Exemplos: Técnicas de derivadas 1) Derive as funções abaixo: a) y = 2x 2 + 3x + 1 b) V(x) = 454 3 1 3 xx c) y = x3 2 c) xx x y 4 2 3 2) Calcule o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função 2 )( 2x xf no ponto P(2, 2). 3) Encontre a declividade (coeficiente angular) da reta tangente à curva no ponto indicado P(x,y), em cada caso: a) y = 2x 3 + 3x + 4 em (1, 9) 4) Determine a equação da reta tangente no ponto P(1, 2) à curva f(x) = x 2 + 1. Esboçar o gráfico da função f(x) e da reta tangente. 30 Exercícios (I) 1. Encontre a declividade da reta tangente à curva no ponto indicado P(x,y), em cada caso: a) y = 9 - x 2 em (1,8) b) y = 7 - 6x - x 2 em (0, 7) c) y = x 3 - 3x em (1, -2) 2. Determine a equação das retas tangente à curva no ponto indicado. a) y = x 2 – 4x – 5 em P(-2,7) b) y = x 6 em P(3,2) c) f(x) = 3x 3 – 1 em P(2, 23) 3) Encontre a equação que gera o coeficiente angular em qualquer ponto da curva 54 6 2 )( 3 xxxf . 4. Determine a derivada das funções usando as regras de derivação: a) y = x5-3x3+1 b) y = 5 6 x 6 - 9x 4 c) y = 6 52 510 xx d) y = x x4 3 4 3 1 e) y = x 8 – 2x7 + 3x f) y = 3x2 + 7x + 17 5. Encontre a derivada de f(x) nos valores indicados de x. a) f(x) = x6 em x = -2 b) f(x) = 2 1 x em x = 3 c) f(x) = 4 – x em x = 5 d) f(x) = 32x em x = 1 e) f(x) = x em x = 1 6. Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva y = x 3 no ponto (4, 64) e escreva a equação desta reta. 7. Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva y = x no ponto (25, 5) e escreva a equação desta reta. 8. Derive as funções: a) C (q) = q3 + 2q2 + 4q + 20 b) R (q) = 6q2 – q3 c) L (q) = -q4 + 13q2 – 36 d) P (x) = 3110x e) U(x) = xx f) Q(x) = - p2 + 100 9) Seja y = - x 2 + 8x – 12 a) Faça o gráfico da função e determine o ponto da curva em que a tangente é paralela ao eixo dos x. Qual o valor da derivada da função nesse ponto? b) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função. c) Resolva as inequações y’ > 0 e y’ < 0. 31 Respostas 1) a) f’(1) = m = -2 b)f ‘(0) = m = - 6 c) f ‘(1) = m = 0 2) a) y = -8x - 9 b) y = -2/3x + 4 c) y = 36x – 49 3) m(x) = f’(x) = x2 + 4 4) a) y ‘= 5x4 –9x2 b) y’= 5x5 –36x3 c) y’= 5x9- x4 d) y’= x3 – x2 e) y’= 8x7 –14x6 + 3 f) y’= 6x + 7 5) a) f ’(-2) = -192 b) f’(3) = -2/27 c) f’(5) = -1 d) f ‘(1) = 2/3 e) f’(1) = ½ 6) m(4) = f’(4) = 48 y = 48x – 128 7) m(25) = y’= 1/10 y = 1/10x + 5/2 8) C ’ = 3q 2 + 4q + 4 R’= 12q - 3q2 L’= -4q3 + 26q P’= 10/3 x-2/3 U’= 3/2x1/2 Q’=-2p 9) Exemplos Técnicas de Derivação: USA-SE A TABELA DE DERIVADAS Obtenha a derivada de cada função a seguir: 1) f(x) = 2x 3 + 4x 2 - x 3 2 + 34 2) f(x) = (2x 3 –1)(x4 + x2) 3) f(x) = 2 12 x x 35 32 )()4 2 4 xx x xf 5) xxf 2sen)( 6) f(x) = )3( xe 7) 2 3 3 2 )( 3 2 x x xf 8) xxf ln)( 9) f(x) = ln (2x+1) 10) f(x) = 2x + 3lnx – sen2x 11) y = 2 3 12 x xx 12) xxxf cos.2)( 3 13) f(x) = x x sen 2 3 Função Composta – Regra da Cadeia )(.)()( xuuvxf , isto é, )(xf (derivada de v em relação a u).(derivada de u em relação a x). )(.)(.)()()( 1 xuxunxfxuxf nn 1n 32 Exemplos: Obtenha a derivada das seguintes funções: a) f(x) = (3x - 1) 2 b) 12)( xxf c) f(x) = sen 2 x d) f(x) = 1 2 x e) 1)( x x exf f) )132ln()( 2 xxxf g) xxf 2)( h) 13).1()( xxxf Lista 01: Obtenha a derivada de cada função a seguir: a) f(x) =10 b) f(x) = x5 c) f(x) = 10x5 d) f(x) = 2 2 1 x e) f(x) = x2 + x3 f) f(x) = 10x3 + 5x2 g) f(x) = 2x + 1 h) f(t) = 3t2 – 6t –10 i) f(u) = 5u3 – 2u2 + 6u + 7 j) f(x) = 3lnx + 5 k) f(x) = 10lnx – 3x + 6 l) f(x) = 5senx + 2cosx – 4 m) f(x) = x.senx n) f(x) = x2.lnx o) f(x) = (2x2 –3x + 5)(2x –1) p) f(x) = 2 sen x x q) f(x) = tgx r) f(x) = 2 1 x x s) f(x) = 23 52 xx t) f(x) = 32x u) f(x) = 4131 xx v) f(x) = 1053 3 xx w) f(x) = xx sen. x) f(x) = x xln 33 Respostas lista 01: a) )(xf 0 b) )(xf 5x 4 c) )(xf 50x 4 d) )(xf x e) )(xf 2x + 3x 2 f) )(xf 30x 2 + 10x g) )(xf 2 h) )(tf 6t – 6 i) )(uf 15u 2 – 4u + 6 j) )(xf x 3 k) )(xf 3 10 x l) )(xf 5cosx – 2senx m) )(xf sen x + x.cosx n) )(xf 2x.lnx + x o) )(xf (4x – 3)(2x –1) + (2x2 – 3x + 5).2 p) )(xf 4 2 sen2cos x xxxx q) )(xf x xfoux 2 2 cos 1 )(sec r) )(xf 2)2( 1 x s) )(xf 34 106 xx t) )(xf 3 1 3 2 x u) )(xf 4 3 3 2 4 1 3 1 xx v) )(xf 3 2 2 1 3 5 2 3 xx ou )(xf 3 2 2 1 3 5 2 3 xx ou )(xf 3 23 5 2 3 xx w) )(xf xxxx cos.sen. 2 1 2 1 2 1 ou )(xf xx x senx cos. 2 1 x) )(xf xxx ln. 2 1 2 3 2 3 ou )(xf x xx ln. 2 11 33 ou )(xf x xxxx ln. 2 11 34 Lista 02 Obtenha a derivada das seguintes funções: a) 312)( xxf b) 412)( xxf c) 62 535)( xxxf d) 3 2 1 11 )( xx xf e) 52 )23( 1 )( xx xf f) )23ln()( 2 xxxf g) )63ln()( 2 xxxf h) )3sen()( 2 xxxf i) )(xf x2 j) )(xf x5 k) )(xf xxe 3 l) )(xf 122 xxe m) )(xf 423 x n) )(xf 1 1 x x e o) )(xf xx ee p) )(xf xx x ee ee x q) )(xf 12 x r) )(xf 3 12 x s) )(xf 2 3 2 126 xx t) )(xf 3 2 131 xxx u) )(xf 1 xx v) )(xf xe xln w) )(xf 23 1 x x Respostas: a) 2)12(6)( xxf b) 3)12(8)( xxf c) )310()535(6)( 52 xxxxf d) ) 12 ()1 11 (3)( 23 2 2 xxxx xf e) )32()23(5)( 62 xxxxf f) xx x xf 23 26 )( 2 g) 63 32 )( 2 xx x xf h) )3cos()32()( 2 xxxxf i) 2ln.2)( xxf j) 5ln.5)( xxf k) 3ln.3)( xxexf l) 122)22()( xxexxf m) 3ln.3.2)( )4( 2 xxxf n) 1 1 2)1( 2 )( x x e x xf o) xx eexf )( p) 2)( 4 )( xx ee xf q) 12 1 )( x xf r) 3 2 )12( 3 2 )( xxf ou 3 2)12(3 2 )( x xf s) )212()126( 2 3 )( 2/12 xxxxf t) 3 1 ).32()13()1( 2 1 )( 3 2 22 1 xxxxxf u) 2 1 2 1 ).1( 2 1 2 1 )( xxxf v) xx e x x e x xf ln 1 . ln 2 1 )( 2 1 w) 2 2 1 )23( 1 . 23 1 . 2 5 )( xx x xf 35 A DERIVADA COMO TAXA DE VARIAÇÃO Velocidade Instantânea Def. Definimos a velocidade média de uma partícula no movimento retilíneo como sendo o quociente da variação da distância pela variação do tempo. Seja S medido em metros e t em segundos, a equação S = f(t) define S como uma função de t (o número de metros percorridos é uma função do tempo gasto para percorrê-los), então a velocidade média é dada por Vm s t S S t t 2 1 2 1 onde S2 = f(t2) e S1 = f(t1) então: Vm f t f t t t ( ) ( )2 1 2 1 ou seja Vm f t t f t t ( ) ( )1 1 Agora, quanto menor for o intervalo de t2 a t1 (t0), mais próximo será a velocidade daquilo que nós consideramos como velocidade instantânea em t1, portanto: V t f t t f t tt ( ) lim ( ) ( ) 1 0 1 1 , ou para um instante t qualquer V t f t t f t t f t t ( ) lim ( ) ( ) ( ) 0 Conclusão: A velocidade v(t) de um objeto é dada pela derivada da função posição de um objeto em movimento retilíneo, ou seja, )()( tstv . A derivada da função velocidade v(t) é chamada de função aceleração e é freqüentemente escrita como a(t): )()( tvta ou )()( tsta Exemplo: 1. Uma partícula move-se sobre uma linha reta com a equação do movimento: S(t) = 3t 2 + t, calcular a velocidade da partícula no instante em que t = 2 segundos. R 13m/s TAXA DA VARIAÇÃO INSTANTÂNEA EM GERAL As considerações a respeito da taxa de variação da distância em relação ao tempo poderão ser generalizadas e assim serão aplicáveis para quaisquer quantidades variáveis de qualquer espécie. Por exemplo, a taxa de crescimento de bactérias, a taxa de variação de uma reação química. Em economia, a receita marginal, o custo marginal e o lucro marginal, são taxas de variação. Desta maneira, sejam x e y quantidades variáveis tal que y = f(x), par calcularmos a taxa de variação média de y por unidades de x teremos a seguinte razão: y x y y x x 2 1 2 1 = 12 12 )()( xx xfxf (TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA) A taxa de variação instantânea em x1 teremos quando x2 se aproxima de x1 (x2 - x1 = x; x0) e será escrita como: y x x f x x f x xx ( ) lim ( ) ( ) 1 0 1 1 , logo se y = f(x), definiremos a taxa de variação instantânea de y em relação à x em um x qualquer como: 36 y x x f x x f x x f x x ( ) lim ( ) ( ) ( ) 0 A derivada )(af mede a taxa de variação de f(x) em x = a Exemplos: 1) Um cubo de metal com aresta x é expandido uniformemente quando aquecido, calcule a taxa de variação instantânea de seu volume em relação a aresta no instante em que x = 2 cm. R. 12 cm 3 /cm de aresta A taxa de variação do volume será de 12cm 3 por variação de 1 cm do comprimento de lado. 2) Uma cidade X é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t(medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) é aproximadamente, dado por 3 64)( 3t ttf . a) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 4? Resp: Logo, no tempo t = 4, a moléstia está se alastrando à razão de 48 pessoas por dia. b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 8? Resp: Logo, no tempo t = 8, a epidemia está totalmente controlada. c) Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5 o dia? Como o tempo foi contado em dias a partir do 1 o dia de epidemia, o 5 o dia corresponde à variação de t 4 para 5. Comentários: Em (a), vimos que no tempo t = 4 (inicio do 5 o ), a epidemia se alastra a uma taxa de 48 pessoas por dia. No item (c), calculamos que durante o 5 o dia 43 pessoas serão atingidas. Essa diferença ocorreu porque a taxa de propagação da moléstia se modificou no decorrer do dia. Exercícios Algumas aplicações da derivada, ou seja, taxa de variação. População 1) Estima-se que daqui a x meses a população de um certo município será P(x) = x 2 + 20x + 8000. a) Qual será a taxa de variação da população com o tempo daqui a 15 meses? b) Qual será a variação da população durante o 16 o mês? Resp: a) 50 habitantes por mês. b) 51 habitantes. 2) O produto interno bruto (PIB) de um país é dado por N(t) = t 2 + 5t + 106 bilhões de dólares, onde t é o número de anos após 1990. Qual foi a taxa de variação do PIB em 1998? R. 21 bilhões de dólares por ano. Aumento da População 3) Calcula-se que daqui a x meses a população de certa cidade será 50042)( 2 3 xxxP a) Qual será a taxa de variação da população com o tempo daqui a 9 meses. R. P’(x) = 2 + x 1/2 P’(9) = 20 habitantes por mês. 37 Imposto Predial 4) Os registros mostram que x anos depois de 1994, o imposto predial médio que incidia sobre um apartamento de três quartos em um certo município era T(x) = 20x 2 + 40x + 600 reais. a) Qual era a taxa de aumento do imposto predial no início do ano 2000? R. T’(6) = R$ 280/ano Aumento da População 5) Calcula-se que daqui a t anos, a população de certo município será )1( 6 20)( t tP mil pessoas. a) Escreva uma expressão para a taxa com que a população estará variando daqui a t anos. b) Qual será a taxa de aumento da população daqui a 1 ano? c) Qual será o aumento da população durante o segundo ano? d) Qual será a taxa de aumento da população daqui a 9 anos? e) O que acontecerá com a taxa de aumento da população ao longo prazo? Respostas 5: a) 2)1/(6)( ttP mil moradores por ano. b) 1500 moradores por ano. c) 1000 moradores d) 60 por ano A taxa de aumento tenderá a zero. 6) Uma partícula move-se ao longo de uma linha reta de acordo com a equação do movimento S = 2t 3 – 4t 2 + 2t – 1. Determine a velocidade da partícula no instante t = 2 s. R. 10 m/s 7. Um triângulo eqüilátero feito de uma folha de metal é expandido, pois foi aquecido. Sua área A é dada por 4 32x A onde x é o comprimento das arestas do triângulo em cm. Calcule a taxa de variação instantânea de A em relação a x no instante em que x = 10 cm. R. 5 3 cm 2 /cm de aresta 8. Uma bola é lançada verticalmente para cima, desde o solo. A equação do movimento é S = -5t 2 + 20t (S em m e t em seg.), determine: a) a velocidade instantânea em t=1seg; R 10m/s b) a velocidade instantânea em t=3seg; R -10m/s c) o instante em que a bola começa retornar ao solo. R 2 seg. 9. A pressão de um gás depende do seu volume V de acordo com a lei de Boyle P = C/V, onde C é uma constante. Suponha que C =2000, que P é medido em kg/cm 2 e V é medido em cm 3 . Calcule a taxa de variação instantânea de P em relação a V no instante em que V=100 cm 3 . R. –0,2 kg/cm 2 /cm 3 de volume 10) O número de sócios de uma academia de ginástica aberta há algumas semanas é dado aproximadamente pela função 3 2 )464(100)( ttN 520 t onde N(t) expressa o número de sócios no início da semana t. a) Determine N’(t). b) Com que rapidez o número de sócios da academia estava aumentando inicialmente (t=0)? Resp: 66,7 = 67 pessoas por semana. c) Com que rapidez o número de sócios da academia estava aumentando no inicio da 40 a semana? Resp: 43,9 = 44 pessoas por semana. d) Qual era o número de sócios quando a academia foi aberta? E no inicio da 40 a semana? Resp. Aprox. 1600 pessoas. E, aprox. 3688 pessoas no inicio da 40 a semana. 11) Uma análise da produção diária de uma linha de montagem mostra que cerca de 32 12 1 60)( ttttM unidades são produzidas após t horas de trabalho, 80 t . Qual á a taxa de produção (em unidades por hora) quando t = 2? Resp. 63 unidades/hora. 12) Líquido está sendo adicionado a um grande recipiente. Após t horas, o total de líquido no recipiente é tt 5 galões. Com qual taxa (galões por hora) o líquido flui para o recipiente quando t = 4? Resp: 4,75 galões por hora 38 Esboço de Curvas O “esboço” do gráfico de uma função f(x) deve apresentar a forma geral do gráfico – deve mostrar onde f(x) está definida e onde ele é crescente e decrescente, devendo indicar, quando for possível, a concavidade de f(x). Além, disso, um ou mais pontos devem ser indicados cuidadosamente no gráfico. Esses pontos geralmente incluem pontos extremos relativos, pontos de inflexão e as interceptações x e y. Outras características do gráfico também podem ser importantes, mas iremos discuti-las quando elas surgirem em exemplos e aplicações. Função crescente e decrescente 1. Uma função f(x) é crescente quando 0)( xf ; 2. Uma função f(x) é decrescente quando 0)( xf ; 3. 0)( xf determina os pontos críticos da função (ponto de máximo, de mínimo ou de inflexão). Testes para máximos e mínimos locais a) Teste da primeira derivada 1. Se (x)'f passa de + para -, f (x) passa por um máximo; 2. Se (x)'f passa de - para +, f(x) passa por um mínimo; 3. Se (x)'f não muda de sinal, f(x) não passa por máximo nem por mínimo, pode ser um ponto de inflexão. b) Teste da segunda derivada 1. Se )(x''f 0 < 0, f(x) passa por um máximo; 2. Se )(x''f 0 > 0, f(x) passa por um mínimo; 3. Se )(x''f 0 = 0, o teste falha. Obs. x0 é o ponto crítico determinado pela derivada primeira. Ponto de inflexão É o ponto onde a curva muda de concavidade. Uma curva y = f(x) tem um ponto de inflexão quando: 1. f(x0) está definido; 2 . )(x''f 0 é igual a zero ou torna-se infinito; 3. )(x''f 0 troca de sinal quando x passa por x0. Exemplos: 1) Esboce os gráficos das funções, mostrando todos os pontos extremos relativos (valores de máximo ou mínimo), pontos de inflexão e intervalos onde a função cresce e/ou decresce. a) f(x) = 53 23 xx b) xxxxf 53 3 1 )( 23 c) y = x 3 + x 2 – x + 1 39 Exercícios: 1) Esboce os gráficos das funções, mostrando todos os pontos extremos relativos (valores de máximo ou mínimo) e pontos de inflexão. a) f(x) = x3 + 6x2 + 9x b) f(x) = x3 – 12x c) f(x) = 29 3 1 3 xx d) f(x) = 53 3 1 23 xxx Gabarito dos gráficos, pontos críticos observar nos gráficos. a) Pontos críticos x = - 3 e x = -1; Cresce para x < -3 ou x > - 1 decresce: -3 < x < -1 Ponto de inflexão ( -2, -2) Máximo Local f(- 3) = 0 ponto (-2, 0) Mínimo Local f( -1) = - 4 ponto (-1, - 4) b) Pontos críticos x = - 2 e x = 2; Cresce para x < -2 ou x > 2 decresce: -2 < x < 2 Ponto de inflexão ( 0, 0) Máximo Local f(- 2) = 16 ponto (-2, 16) Mínimo Local f( 2) = -16 ponto (2,-16) c) Pontos críticos x = - 3 e x = 3; Cresce para -3< x < 3 decresce: x < -3 ou x >3 Ponto de inflexão ( 0, -2) Mínimo Local f(- 3) = -20 ponto (-3, -20) Máximo Local f( 3) = 16 ponto (3, 16) d) Pontos críticos x = - 1 e x = 3; Cresce para x < -1 ou x > 3 decresce: -1 < x < 3 Ponto de inflexão ( 1, 4/3) Máximo Local f(- 1) = 20/3 ponto (-1,20/3) Mínimo Local f( 3) = - 4 ponto (-3, - 4) 40 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO Os métodos aprendidos para encontrar valores extremos têm aplicações práticas em muitas áreas do dia-a-dia. Um homem de negócios quer minimizar custos e maximizar lucros. Um viajante quer minimizar o tempo de transporte. Agora vamos resolver problemas tais como maximizar áreas, volumes e lucros, e minimizar distâncias, tempo e custos. Na solução de tais problemas práticos o maior desafio está freqüentemente em converter o problema em um problema de otimização matemática, estabelecendo a função que deve ser maximizada ou minimizada. Exemplos a) Quer-se construir um cercado retangular aproveitando-se uma parede já existente. Se existe material suficiente para se construir 80 metros de cerca, quais as dimensões do cercado para se ter a maior área cercada possível? Resolução: b) Quer-se construir uma trave de um campo de futebol enterrando-se cada lado a uma profundidade de 1 metro. Para isso dispõe-se de 10 metros de madeira numa peça só. Como deverá ser cortada a peça de madeira para que se tenha a maior área possível sob a trave? Resolução: c) Quer-se construir uma piscina infantil de base quadrada e que encerre um volume de 32m 3 . O preço do m² da base equivale a 2 salários mínimos, enquanto que o preço do m² das faces laterais equivale a 16 salários mínimos. Quais as dimensões da piscina para que se tenha preço mínimo? Solução: Sejam x >0 a medida do lado do quadrado da base e, y > 0 a altura. O volume deve ser 32 m³ então temos que x².y = 32 e daí, 2 32 x y . Note que a área total da piscina é a soma da área da base x 2 e mais a área de 4 retângulos de área x.y, assim a função custo é dada por: C = 2x² + 4.x.y.16 salários mínimos. Temos x xxC 2048 2)( 2 e 2 2048 4)( x xxC = 2 3 20484 x x C é uma fração cujo o denominador é positivo, então, basta apenas estudar o sinal do numerador 4x 3 - 2048 = 0 implica em 512 4 20483 x 85123 x . Assim x = 8 é o ponto mínimo absoluto, logo 2 1 8 32 2 y Resposta: Para que o custo da piscina seja mínimo, o lado da base deverá ser 8m e a profundidade 2 1 m. 41 42 3) Considere a quantidade de produção vegetal como função da quantidade de sementes x colocadas na cova, dada pela equação )/(12)( 23 hakgxxxf , analise os intervalos onde a função é crescente ou decrescente e calcule: a) a taxa de variação da produção em x = 6 e em x = 10 e justifique seus significados, b) a quantidade x de sementes por cova para uma produção máxima, c) a produção máxima, d) Represente graficamente para valores reais. 4) De uma longa folha retangular de metal de 75cm de largura deve-se fazer uma calha dobrando as bordas perpendicularmente à folha. Quantos cm devem ser dobrados de cada lado de modo que a calha tenha capacidade máxima? 5) Um terreno retangular à margem de um rio deve ser cercado, com exceção do lado ao longo do rio. Se o custo do material for de R$ 12,00 por metro linear no lado paralelo ao rio e de R$ 8,00 por metro linear nos dois extremos, ache o terreno de maior área possível que possa ser cercado com R$ 3.600,00 de material. Respostas: 43 Derivação implícita Se y é uma função de x definida pela equação y = 3x 2 + 5x + 1, então y é definida explicitamente em termos de x e podemos escrever y = f(x) onde f(x) = 3x 2 + 5x + 1. Entretanto, nem todas as funções estão definidas explicitamente. Por exemplo, a equação: x 6 – 2x = 3y 6 + y 5 – y 2 , não pode ser resolvida para y explicitamente como uma função de x. Neste caso dizemos que y é definida implicitamente pela equação dada. Podemos encontrar a derivada de y em relação à x, pelo processo denominado diferenciação implícita. DX = 6x 5 -2 e Dy = 18y 5 + 5y 4 – 2y, então yyy x dx dy 2518 26 45 5 Exemplos: 1) Derive as seguintes funções implicitamente: a) 2x 3 y + 3xy 3 = 5 b) yx yx x 2 22 c) 33xxyy Exercícios: 44 DERIVADA DE ORDEM SUPERIOR De um modo geral, se uma função é derivável, então a derivada f´ é novamente derivável, e a derivada de f´ é representada por f´´ e assim por diante. xD dx dy )x(y)x(f são representações da derivada primeira 2x2 2 D dx yd )x(y)x(f são representações da derivada segunda 3x3 3 D dx yd )x(y)x(f são representações da derivada terceira ... Na física a derivada 1ª de uma equação de movimento é a velocidade instantânea e a derivada segunda de uma equação de movimento é a aceleração no instante em que t = t0 Exercícios. 1. Seja s = 2t 2 t com s em metros e t em segundos, ache os valores da velocidade e da aceleração quando t = 2 1 s. 2. Determine todas as derivadas de ordem superior da função polinomial: f(x) = x 4 – 8x 3 + 3x 2 – 2x + 4 3. Determine a derivada 2ª das funções dadas: a) y = x 2 (x 2 + 7) b) )2(2 xsenxy c) 32 )2( 2 x xx y Respostas: 1) S’= V = 33m/s a = -192m 2 /s 2) f’(x) = 4x 3 - 24x 2 +6x – 2 f’’(x) = 12x 2 - 48x + 6 f’’’(x) = 24x - 48 IVf (x) = 24 vf (x) = 0 2) a) y’’ = 12x 2 + 14 b) y’ = 2sen(2x) + 8xcos(2x) - 4x 2 sen(2x) c) 2 2 )32( 662 x xx y 4 22 )32( 2).32.(2).662()32)(64[( x xxxxx y desenvolvendo a parte do numerador fica 4)32( 12684 x x y
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